Soal Dan Respon Trigonometri Tangen Jumlah Dan Selisih Sudut

Sama halnya seumpama nilai perbandingan sinus dan cosinus , kita juga sanggup menyeleksi nilai perbandingan tangen suatu sudut yang tidak dikenali dengan mempergunakan nilai tangen sudut relasinya. Sesuai dengan identitas trigonometri , intinya nilai tangen suatu sudut berafiliasi dengan nilai sinus dan cosinusnya.

Oleh lantaran itu , saat nilai sinus atau cosinus dari suatu sudut dikenali , maka kita sanggup mengkalkulasikan nilai tangen sudut tersebut. Tak cuma itu , kita juga sanggup mengkalkulasikan nilai tangen suatu sudut yang memiliki kekerabatan dengan sudut yang diketahui.

Sebagai pola , kita sanggup mempergunakan rumus tan (30^o + 45^o) atau tan (120^o – 45^o) untuk mengkalkulasikan tan 75^o. Prinsipnya sama seumpama pembahasan sebelumnya , yakni dengan mempergunakan identitas trigonometri dan kekerabatan antar sudut. Itu sebabnya akan sungguh menolong bila anda sudah mengerti nilai-nilai trigonometri sudut-sudut berelasi.

Ketika mendapatkan soal-soal yang berhubungan dengan rumus tangen , cobalah untuk merubah bentuk soal menjadi sedemikian rupa mendekati sudut relasinya. Usahakan biar bentuk tersebut diubah ke dalam sudut-sudut istimewa sehingga kita sanggup menyeleksi nilainya.

Biasanya , bila bentuk soal tidak sanggup disederhanakan dalam bentuk sudut istimewa , maka kita cuma diminta untuk mempersempit bentuk tersebut menjadi sudut relasinya yang paling sederhana tanpa mengkalkulasikan nilainya.

Kumpulan Soal dan Pembahasan

Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri , hitunglah nilai eksak dari :
1. tan 15^o
2. tan 75^o
Pembahasan :
1. tan 15^o = tan (45^o − 30^o)
  ⇒ tan 15^o = tan 45^o − tan 30 ^o 1 + tan 45^o tan 30 ^o
  ⇒ tan 15^o = 1 − ⅓√3 1 + (1.⅓√3)
  ⇒ tan 15^o = 1 − ⅓√3 1 + ⅓√3
  ⇒ tan 15^o = 2 − √3
  Jadi , tan 15^o = 2 − √3.
2. tan 75^o = tan (45^o + 30^o)
  ⇒ tan 75^o = tan 45^o + tan 30 ^o 1 − tan 45^o tan 30 ^o
  ⇒ tan 75^o = 1 + ⅓√3 1 − (1.⅓√3)
  ⇒ tan 75^o = 1 + ⅓√3 1 − ⅓√3
  ⇒ tan 75^o = 2 + √3
  Jadi , tan 75^o = 2 + √3.
Dalam segitiga ABC , dikenali sin C = ⅗ dan tan A tan B = 5. Hitunglah nilai dari :
1. tan (A + B)
2. tan A + tan B
Pembahasan :
Karena sin C = , maka tan C = ¾.
Ingat bahwa dalam segitiga , jumlah sudutnya merupakan 180^o , sehingga diperoleh : C = 180^o − (A + B).
1. tan C = (180^o − (A + B))
  tan (180^o − (A + B)) = ¾
  ⇒ tan 180^o − tan (A + B ) 1 + tan 180^o tan (A + B) = ¾
  Ingat bahwa tan 180^o = 0.
  ⇒ – tan (A + B) = ¾
  ⇒ tan (A + B) = -¾
  Jadi , tan (A + B) = -¾ .
2. tan (A + B) = ¾
  ⇒ tan A + tan B 1 − tan A tan B = ¾
  
  ⇒ tan A + tan B = ¾ (1 − tan A. tan B)
  Pada soal dikenali tan A tan B = 5 , maka :
  ⇒ tan A + tan B = ¾ (1 − 5)
  ⇒ tan A + tan B = 3
  Jadi , tan A + tan B = 3.
Jika dikenali tan 10^o = k , buktikan bahwa :
1. tan 55^o
2. tan 50^o
Pembahasan :
1. tan 55^o = tan (45^o + 10^o)
  ⇒ tan 15^o = tan 45^o + tan 10 ^o 1 − tan 45^o tan 10 ^o
  ⇒ tan 15^o = 1 + k 1 − (1.k)
  ⇒ tan 15^o = 1 + k 1 − k
2. tan 50^o = tan (60^o − 10^o)
  ⇒ tan 15^o = tan 60^o − tan 10 ^o 1 + tan 60^o tan 10 ^o
  ⇒ tan 15^o = √3 − k 1 + (√3.k)
  ⇒ tan 15^o = √3 − k 1 + √3k
Tunjukkan bahwa nilai eksak dari :
1. tan (-15^o) = (√3 – 2)
2. tan (105^o) = -(√3 + 2)
Pembahasan :
1. tan (-15^o) = (√3 – 2)
  ⇒ tan (30^o − 45^o) = (√3 – 2)
  ⇒ tan 30^o − tan 45 ^o 1 + tan 30^o tan 45 ^o = (√3 − 2)
  ⇒ ⅓√3 − 1 1 + (⅓√3.1) = (√3 − 2)
  ⇒ ⅓√3 − 1 1 + ⅓√3 = (√3 − 2)
  ⇒ ⅓√3 − 1 1 + ⅓√3 .(1 − ⅓√3)(1 − ⅓√3) = (√3 − 2)
  ⇒ (√3 − 2) = (√3 − 2)
  Terbukti.
2. tan (105^o) = -(√3 + 2)
  ⇒ tan (60^o + 45^o) = -(√3 + 2)
  ⇒ tan 60^o + tan 45 ^o 1 − tan 30^o tan 45 ^o = -(√3 + 2)
  ⇒ √3 + 1 1 − (√3.1) = -(√3 + 2)
  ⇒ √3 + 1 1 − √3 = -(√3 + 2)
  ⇒ √3 + 1 1 − √3 .(1 + √3)(1 + √3) = -(√3 + 2)
  ⇒ -(√3 − 2) = -(√3 + 2)
  Terbukti.
Rumus tan (α ± β)
Jika tan α = ½ dan tan β = ⅓ , hitunglah tan (α + β).
Pembahasan :
⇒ tan (α + β) = tan α + tan β 1 − tan α tan β
⇒ tan (α + β) = ½ + ⅓ 1 − (½.⅓)
⇒ tan (α + β) = ⅚ 1 − ⅙
⇒ tan (α + β) = ⅚ ⅚
⇒ tan (α + β) = 1
Jadi , tan (α + β) = 1.