Soal Dan Respon Trigonometri Sinus Jumlah Dan Selisih Sudut

Gambar Gravatar
Wulandari Purnama
182 Dilihat
rumus trigonometri 5
Pembahasan trigonometri dibagi menjadi dua bab yakni trigonometri I (dasar) dan trigonometri II (lanjutan). Pada trigonometri dasar sudah dibahas tentang rumus-rumus dasar serta identitas trigonometri. Selanjutnya , topik trigonometri dititikberatkan pada penggunaan rumus-rumus lanjutan yang lebih kompleks.

Rumus-rumus yang hendak dibahas termasuk rumus perbandingan trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut , perbandingan trigonometri untuk sudut ganda , perbandingan trigonometri untuk setengah sudut , dan perkalian trigonometri.

Bacaan Lainnya

Rumus Sin (α + β)

Rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut sanggup digunakan untuk menyeleksi nilai perbandingan tirgonometri sebuah sudut yang tidak dipahami , misalnya kita sanggup menyeleksi nilai sinus dari sudut 165o dengan menggunakan rumus jumlah dua sudut istimewa yakni 120o + 45o .

Kita juga sanggup menyeleksi nilai sinus 165o dengan menggunakan rumus selisih dua sudut yakni 210o – 45o. Berikut ringkasan rumus trigonometri untuk penjumlahan dan selisih dua sudut.

Kumpulan soal dan pembahasan sin (α + β)

  1. Dengan menggunakan rumus sin (α ± β) , tetapkan nilai dari :
    1. sin 165o 
    2. sin 195o
    3. sin 255o

    Pembahasan :

    1. sin 165o = sin (120o  + 45o)
      ⇒ sin 165o = sin 120o .cos 45o + cos 120o .sin 45o
      ⇒ sin 165o = (½√3).(½√2) + (½).(½√2)
      ⇒ sin 165o = ¼√6 + ¼√2
      ⇒ sin 165o = ¼ (√6 + √2)
      Jadi , sin 165o = ¼ (√6 + √2).

      Atau :
      sin165o = sin (210o − 45o)
      ⇒ sin 165o = sin 210o .cos 45o − cos 120o .sin 45o
      ⇒ sin 165o = (-½).(½√2) − (-½√3).(½√2)
      ⇒ sin 165o = -¼√2 − (-¼√6)
      ⇒ sin 165o = ¼√6 − ¼√2
      ⇒ sin 165o = ¼ (√6 + √2)
      Jadi , sin 165o = ¼ (√6 + √2). 

    2. sin 195o = sin (150o  + 45o)
      ⇒ sin 195o = sin 150o .cos 45o + cos 150o .sin 45o
      ⇒ sin 195o = (½).(½√2) + (-½√3).(½√2)
      ⇒ sin 195o = ¼√2 + (-¼√6)
      ⇒ sin 195o = ¼√2 − ¼√6
      ⇒ sin 195o = ¼ (√2 − √6)
      Jadi , sin 195o = ¼ (√2 − √6). 
      Atau :
      sin195o = sin (240o − 45o)
      ⇒ sin 195o = sin 240o .cos 45o − cos 240o .sin 45o
      ⇒ sin 195o = (-½√3).(½√2) − (-½).(½√2)
      ⇒ sin 195o = -¼√6 − (-¼√2)
      ⇒ sin 195o = ¼√2 − ¼√6
      ⇒ sin 195o = ¼ (√2 − √6)
      Jadi , sin 195o = ¼ (√2 − √6). 
    3. sin 255o = sin (210o  + 45o)
      ⇒ sin 255o = sin 210o .cos 45o + cos 210o .sin 45o
      ⇒ sin 255o = (-½).(½√2) + (-½√3).(½√2)
      ⇒ sin 255o = -¼√2 + (-¼√6)
      ⇒ sin 255o = -¼√2 − ¼√6
      ⇒ sin 255o = -¼ (√2 + √6)
      Jadi , sin 255o = -¼ (√2 + √6). 

      Atau :
      sin 255o = sin (300o − 45o)
      ⇒ sin 255o = sin 300o .cos 45o − cos 300o .sin 45o
      ⇒ sin 255o = (-½√3).(½√2) − (½).(½√2)
      ⇒ sin 255o = -¼√6 − ¼√2
      ⇒ sin 255o = -¼ (√6 + √2)
      ⇒ sin 255o = -¼ (√2 + √6)
      Jadi , sin 255o = -¼ (√2 + √6). 

  2. Sederhanakan tiap bentuk berikut ini :
    1. sin (90o + a) cos (270o − a) + cos (90o + a) sin (270o − a)
    2. sin (π⁄3+ p) cos (π⁄6+ p) − cos (π⁄3+ p) sin (π⁄6+ p)

    Pembahasan :

    1. sin (90o + a) cos (270o − a) + cos (90o + a) sin (270o − a)
      misalkan : (90o + a) = α dan (270o − a) = β.
      ⇒ sin α .cos β + cos α sin β = sin (α + β)
      ⇒ sin α .cos β + cos α sin β = sin {(90o + a) + (270o − a)}
      ⇒ sin α .cos β + cos α sin β = sin (90o + a + 270o − a)
      ⇒ sin α .cos β + cos α sin β = sin 360o
      ⇒ sin α .cos β + cos α sin β = 0
      Jadi , sin (90o + a) cos (270o − a) + cos (90o + a) sin (270o − a) = 0.
    2. sin (π⁄3+ p) cos (π⁄6+ p) − cos (π⁄3+ p) sin (π⁄6+ p)
      misalkan (π⁄3+ p) = α  dan (π⁄6+ p) = β.
      ⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin (α − β)
      ⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin {(π⁄3+ p) − (π⁄6+ p)}
      ⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin (π⁄3 + p − π⁄6 − p)
      ⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin (π⁄3 − π⁄6)
      ⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin π⁄6
      ⇒ sin α .cos β − cos α sin β = sin 30o
      ⇒ sin α .cos β − cos α sin β = ½
      Jadi , sin (π⁄3+ p) cos (π⁄6+ p) − cos (π⁄3+ p) sin (π⁄6+ p) = ½.
  3. Dengan prinsip (α ± β) , tunjukkan bahwa :
    1. sin (45o + a) − sin (45o − a) = √2 sin a
    2. sin (150o + a) + sin (30o + a) = cos a

    Pembahasan :

    1. Mari kita diskusikan pertahap :
      sin (45o + a) = sin 45o .cos a + cos 45o sin a
      ⇒ sin (45o + a) = ½√2 cos a + ½√2 sin a
      sin (45o − a) = sin 45o .cos a − cos 45o sin a
      ⇒ sin (45o + a) = ½√2 cos a − ½√2 sin a

      Selanjutnya :
      sin (45o + a) − sin (45o − a) = √2 sin a
      ⇒ ½√2 cos a + ½√2 sin a − (½√2 cos a − ½√2 sin a) = √2 sin a
      ⇒ ½√2 cos a + ½√2 sin a − ½√2 cos a + ½√2 sin a = √2 sin a
      ⇒ ½√2 cos a − ½√2 cos a + ½√2 sin a + ½√2 sin a = √2 sin a
      ⇒ ½√2 sin a + ½√2 sin a = √2 sin a
      ⇒ √2 sin a = √2 sin a
      (Terbukti).

    2. Mari kita diskusikan pertahap :
      sin (150o + a) = sin 150o .cos a + cos 150o sin a
      ⇒ sin (45o + a) = ½ cos a + (-½√3) sin a
      ⇒ sin (45o + a) = ½ cos a − ½√3 sin a
      sin (30o + a) = sin 30o .cos a + cos 30o sin a
      ⇒ sin (45o + a) = ½ cos a + ½√3 sin a

      Selanjutnya :
      sin (150o + a) + sin (30o + a) = cos a
      ⇒ ½ cos a − ½√3 sin a + ½ cos a + ½√3 sin a = cos a
      ⇒ ½ cos a + ½ cos a − ½√3 sin a + ½√3 sin a = cos a
      ⇒ ½ cos a + ½ cos a  = cos a
      ⇒ cos a = cos a
      (Terbukti.)

  4. Diketahui α  dan β sudut lancip. Jika cos α = ⅗ dan cos β = ⅘ , hitunglah nilai dari :
    1. sin (α + β)
    2. sin (α − β)

    Pembahasan :
    Untuk menjawab soal ini , maka kita perlu mencari nilai sin untuk α dan β.
    Karena cos α = ⅗  → sin α = ⅘
    Karena cos β = ⅘ → sin β = ⅗

    1. sin (α + β) = sin α .cos β + cos α sin β
      ⇒ sin (α + β) = ⅘.⅘ + ⅗.⅗
      ⇒ sin (α + β) = 16⁄25 +  9⁄25
      ⇒ sin (α + β) = 25⁄25
      ⇒ sin (α + β) = 1.
    2. sin (α − β) = sin α .cos β − cos α sin β
      ⇒ sin (α − β) = ⅘.⅘ − ⅗.⅗
      ⇒ sin (α − β) = 16⁄25 −  9⁄25
      ⇒ sin (α − β) = 7⁄25.
    rumus trigonometri

  5. Tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator , hitunglah nilai dari tiap bentuk berikut ini.
    1. sin 64o cos 26o  + cos 64o  sin 26o
    2. sin 34o .cos 26o  + cos 34o .sin 26o
    3. sin 140o .cos 50o  − cos 140o .sin 50o

    Pembahasan :

    1. sin 64o .cos 26o  + cos 64o .sin 26o  = sin (64o + 26o)
      ⇒ sin 64o .cos 26o  + cos 64o .sin 26o  = sin 90o
      ⇒ sin 64o .cos 26o  + cos 64o .sin 26o  = 1.
    2. sin 34o .cos 26o  + cos 34o .sin 26o  = sin (34o + 26o)
      ⇒ sin 34o .cos 26o  + cos 34o .sin 26o  = sin 60o
      ⇒ sin 34o .cos 26o  + cos 34o .sin 26o  = ½√3.
    3. sin 140o .cos 50o  − cos 140o .sin 50o = sin (140o − 50o)
      ⇒ sin 140o .cos 50o  − cos 140o .sin 50o = sin 90o
      ⇒ sin 140o .cos 50o  − cos 140o .sin 50o = 1.
Share ke Facebook >>Share ke Twitter >>
MENUCONTOH SOAL MATEMATIKACONTOH TRIGONOMETRI
Cafeberita.com yakni blog wacana materi belajar. Gunakan Kolom Search atau pencarian untuk menerima materi mencar ilmu yang ingin dipelajari.
Temukan Kursus Bahasa Inggris di Bekasi untuk Menguasai Bahasa Inggris dengan Cepat 1

Salah seorang pakar dan konsultan pendidikan yang kini mengabdikan hidup menjadi guru di pedalaman nun jauh di pelosok Indonesia.

Pos terkait