Seperti yang sudah diterangkan sebelumnya , rumus trigonometri untuk cosinus sudut ganda juga diturunkan dari rumus cosinus jumlah dua sudut. Kita sanggup menurunkan rumus cos 2α dari rumus jumlah sudut yakni cos (α + β) dengan catatan β = α. Rumus cosinus sudut ganda sanggup kita manfaatkan untuk menyeleksi nilai cosinus sebuah sudut yang sanggup diubah menjadi dua kali sebuah sudut istimewa (2α) dengan α sudut tunggal istimewa.
Untuk cos 2α terdapat tiga rumus yang sanggup kita gunakan sesuai dengan keadaan soal. Identitas yang mesti kita ingat dalam rumus cos 2α yakni sin2 α + cos2 α = 1. Dengan mempergunakan identitas tersebut , kita sanggup merubah bentuk cos 2α dalam kuadrat sinus.
Rumus untuk cos 2α diturunkan dari rumus cos (α + β). Jika β = α , maka bentuk tersebut akan menjadi cos (2α). Berdasarkan rumus trigonomeri jumlah dua sudut , maka diperoleh :
cos 2α = cos (α + α)
⇒ cos 2α = cos α .cos α − sin α sin α
⇒ cos 2α = cos2 α − sin2 α
⇒ cos 2α = 1 − 2sin2 α
⇒ cos 2α = 2cos2 α − 1
⇒ cos 2α = 1 − 2sin2 α
⇒ cos 2α = 2cos2 α − 1
Soal dan Pembahasan
- Dengan menggunakan rumus cos 2α , nyatakan :
- cos α dalam bentuk ½α
- cos 3α dalam bentuk 3⁄2α.
Pembahasan :
- cos α dalam bentuk ½α
cos α = cos 2(½α)
⇒ cos 2α = cos2 ½α − sin2 ½α
⇒ cos 2α = 1 − 2 sin2 ½α
⇒ cos 2α = 2 cos2 ½α − 1 - cos 3α dalam bentuk 3⁄2α.
cos 3α = cos 2(3⁄2α)⇒ cos 2α = cos2 3⁄2α − sin2 3⁄2α
⇒ cos 2α = 1 − 2 sin2 3⁄2α
⇒ cos 2α = 2 cos2 3⁄2α − 1
- Jika dipahami α dan β sudut lancip dengan sin α = cos β = ⅘ , maka tentukanlah nilai :
- cos 2α
- cos 2β
Pembahasan :
- cos 2α = 1 − 2sin2 α
⇒ cos 2α = 1 − 2 (⅘)2
⇒ cos 2α = 1 − 2 (16⁄25)
⇒ cos 2α = 1 − 32⁄25
⇒ cos 2α = 25⁄25 − 32⁄25
⇒ cos 2α = – 7⁄25 - cos 2β = 2 cos2 β − 1
⇒ cos 2β = 2 (⅘)2 − 1
⇒ cos 2β = 2 (16⁄25) − 1
⇒ cos 2β = 32⁄25 − 1
⇒ cos 2β = 32⁄25 − 25⁄25
⇒ cos 2β = 7⁄25
- Jika 30o = a , nyatakanlah cos 90o dalam bentuk cos a.
Pembahasan :
90o = 3 x 30o = 3a
⇒ cos 90o = cos 3a
⇒ cos 90o = cos (2a + a)
⇒ cos 90o = cos 2a cos a − sin 2a sin a
⇒ cos 90o = (2cos2 a − 1) cos a − (2 sin a cos a) sin a
⇒ cos 90o = (2cos2 a − 1) cos a − 2 sin2 a cos a
⇒ cos 90o = 2cos3 α − cos a − 2 sin2 a cos a
⇒ cos 90o = 2cos3 α − cos a − 2 (1 – cos2 a) cos a
⇒ cos 90o = 2cos3 α − cos a − 2 (cosa – cos3 a)
⇒ cos 90o = 2cos3 α − cos a − 2cosa + 2cos3 a
⇒ cos 90o = 4cos3 α − 3 cos a - Dengan desain cos 2α , buktikan bahwa :
- cos 60o = ½
- cos 90o = 0
Pembahasan :
- cos 60o = ½
⇒ cos 2(30o) = ½
⇒ cos2 30o − sin2 30o = ½
⇒ (½√3)2 − (½)2 = ½
⇒ ¾ − ¼ = ½
⇒ ½ = ½
(Terbukti). - cos 90o = 0
⇒ cos 2(45o) = 0
⇒ cos2 45o − sin2 45o = 0
⇒ (½√2)2 − (½√2)2 = 0
⇒ 0 = 0
(Terbukti).
- Tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator , pastikan nilai eksak dari :
- cos2 π⁄12 − sin2 π⁄12
- 2 cos2 67 ½o − 1
Rumus untuk cos 2α
Pembahasan :
- cos2 π⁄12 − sin2 π⁄12 = cos 2(π⁄12)
⇒ cos2 π⁄12 − sin2 π⁄12 = cos π⁄6
⇒ cos2 π⁄12 − sin2 π⁄12 = cos 30o
⇒ cos2 π⁄12 − sin2 π⁄12 = ½√3. - 2 cos2 67 ½o − 1 = cos 2(67 ½o)
⇒ 2 cos2 67 ½o − 1 = cos 2(135⁄2o)
⇒ 2 cos2 67 ½o − 1 = cos 135o
⇒ 2 cos2 67 ½o − 1 = -½√2.
Cafeberita.com yakni blog ihwal materi belajar. Gunakan sajian atau pencarian untuk mendapatkan materi mencar ilmu yang ingin dipelajari.
Salah seorang pakar dan konsultan pendidikan yang kini mengabdikan hidup menjadi guru di pedalaman nun jauh di pelosok Indonesia.
