Soal Dan Pembahasan Trigonometri Tangen Setengah Sudut

Pada peluang ini kita akan menjajal membahas soal-soal yang berhubungan dengan rumus trigonometri untuk setengah sudut (rumus sin ½α , cos ½α , dan tan ½α). Sebelumnya sudah dibahas beberapa soal untuk sinus dan cosinus setengah sudut. Sekarang kita akan membahas beberapa soal wacana tangen setengah sudut.

Seperti yang disampaikan sebelumnya , pada rumus tangen setengah sudut kita akan menyaksikan dengan terperinci hubungan antara sinus , cosinus , dan tangen. Rumus tangen setengah sudut diturunkan dari rumus sinus dan cosinus setengah sudut.

Penggunaan rumus tan ½α untuk menyeleksi nilai trigonometri sebuah sudut sanggup dikaitkan dengan identitas-identitas trigonometri yang sudah anda pelajari. Karena tangen ialah perbandingan antara sinus dan cosinus , maka anda sanggup mempergunakan nilai sinus atau cosinus yang dipahami untuk menjumlah nilai tangen.

Rumus untuk tan ½α

Pada postingan sebelumnya sudah dibahas rumus trigonometri untuk sinus dan cosinus setengah sudut. Berdasarkan identitas trigonometri , maka kita sanggup menurunkan rumus-rumus tersebut menjadi rumus tangen setengah sudut selaku berikut :

tan α = sin α cos α

⇒ tan ½α = sin ½α cos ½α

⇒ tan ½α = ± _√1 − cos α 1 + cos α

Jadi , rumus untuk tan ½α yakni :

tan ½α = ± _√1 − cos α 1 + cos α

Keterangan :
Tanda negatif atau positif diubahsuaikan dengan kuadran sudut selaku berikut :
⇒ Kuadran I : tangen positif.
⇒ Kuadran II : tangen negatif.
⇒ Kuadran III : tangen positif.
⇒ Kuadran IV : tangen negatif.

Soal dan Pembahasan

Jika β ialah sudut lancip , nyatakan perbandingan trigonometri :
1. tan β dalam sudut 2β
2. tan ½β
Pembahasan :
1. tan β dalam sudut 2β
  Karena sudut β lancip , memiliki arti sudut β berada di kuadran I dengan begitu tangen bernilai positif.
  tan β = _√1 − cos 2β 1 + cos 2β
2. tan ½β
  Karena sudut β berada di kuadran I , maka sudut ½β juga berada di kuadran I. Dengan begitu tangen untuk sudut ½β juga bernilai positif.
  tan ½β = _√1 − cos β 1 + cos β
Jika α sudut tumpul , maka nyatakan perbandingan trigonometri :
1. tan α dalam sudut 2α
2. tan ½α
Pembahasan :
1. tan α dalam sudut 2α
  Karena sudut α tumpul , memiliki arti sudut α berada di kuadran II dengan begitu tangen bernilai negatif.
  tan α = – _√1 − cos 2α 1 + cos 2α
2. tan ½α
  Karena sudut α berada di kuadran II , memiliki arti sudut ½α berada di kuadran I. Dengan begitu tangen untuk sudut ½α bernilai positif.
  tan ½α = _√1 − cos α 1 + cos α
Dengan menggunakan rumus tan ½α , hitunglah nilai dari :
1. tan ^π⁄₁₂
2. tan 112 ½
Pembahasan :
1. tan ^π⁄₁₂ = tan ½(^π⁄₆)
  ⇒ tan ^π⁄₁₂ = _√1 − cos ^π⁄₆ 1 + cos ^π⁄₆
  ⇒ tan ^π⁄₁₂ = _√1 − ½√3 1 + ½√3
  ⇒ tan ^π⁄₁₂ = _√2 − √3 2 + √3
2. tan 112 ¹⁄₂ = tan ½(225^o)
  ⇒ tan 112 ¹⁄₂ = – _√1 − cos 225^o 1 − cos 225^o
  ⇒ tan 112 ¹⁄₂ = – _√1 − (-½√2) 1 + (-½√2)
  ⇒ tan 112 ¹⁄₂ = – _√2 + √2 2 − √2
Nyatakan perbandingan trigonometri tan ¾α dalam sudut 1½α.
Pembahasan :
tan ¾α = tan ½(³⁄₂α)
⇒ tan ¾α = ± _√1 − cos ³⁄₂α 1 + cos ³⁄₂α
⇒ tan ¾α = ± _√1 − cos 1½α 1 + cos 1½α
Dengan rancangan tangen setengah sudut , tentukan nilai trigonometri berikut :
1. tan 45^o
2. tan 30^o
Pembahasan :
Sudut 45^o dan 30^o berada di kuadran I jadi nilai tangennya positif.
1. tan 45^o = tan ½(90^o)
  ⇒ tan 45^o = _√1 − cos 90^o 1 + cos 90^o
  ⇒ tan 45^o = _√1 − 0 1 + 0
  ⇒ cos 45^o = 1
2. tan 30^o = tan ½(60^o)
  ⇒ tan 30^o = _√1 − cos 60^o 1 − cos 60^o
  ⇒ tan 30^o = _√1 − ½ 1 + ½
  ⇒ tan 30^o =⅓√3.