Soal Dan Pembahasan Trigonometri Sudut Berelasi Kuadran Ii

Sebelumnya sudah dibahas perihal nilai perbandingan trigonometri untuk sudut yang berada pada kuadran I dan II menurut sudut relasinya. Pada halaman ini berikutnya dihidangkan beberapa pola soal perihal nilai perbandingan trigonometri untuk sudut di kuadran II dan III dengan prinsip-prinsip perbandingan trigonometri sudut berelasi.

Seperti sebelumnya , poin penting yang mesti kita amati dalam penggalan ini yakni tanda untuk nilai perbandingan trigonomertri. Ingat bahwa sudut yang berada di kuadran II , cuma perbandingan trigonometri sinus dan cosecan yang bernilai positif.

Sedangkan untuk sudut kuadran III , cuma tangen dan cotangen yang bernilai positif. Di bawah ini dihidangkan ilustrasi dan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut berelasi yang berada pada kuadran II dan III dengan rumus sudut (180^o – α) dan (180^o + α).

Trigonometri sudut (180^o – α) dan (180^o + α)

Hitunglah nilai dari :
a. sin 120^o
b. cos 135^o
c. tan 150^o
d. cosec 240^o
e. sec 225^o
f. cot 210^o
Pembahasan
1. sin 120^o = sin (180^o – 60^o)
  ⇒ sin 120^o = sin 60^o
  Jadi , sin 120^o = ½√3.
2. cos 135^o = cos (180^o – 45^o)
  ⇒ cos 135^o = -cos 45^o
  Jadi , cos 135^o = -½√2.
3. tan 150^o = tan (180^o – 30^o)
  ⇒ tan 150^o = -tan 30^o
  Jadi , tan 150^o = -1/3.√3
4. cosec 240^o = cosec (180^o + 60^o)
  ⇒ cosec 240^o = -cosec 60^o
  Jadi , cosec 240^o = -2/3.√3
5. sec 225^o = sec (180^o + 45^o)
  ⇒ sec 225^o = -sec 45^o
  Jadi , sec 225^o = -√2
6. cot 210^o = cot (180^o + 30^o)
  ⇒ cot 210^o = cot 30^o
  Jadi , cot 210^o = √3.
Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (180^o + α^o) , hitunglah nilai dari setiap perbandingan trigonometri berikut ini!
a. sin 225^o
b. cos 210^o
c. cos 240^o
d. tan 225^o
Pembahasan
1. sin 225^o = sin (180^o + 45^o)
  ⇒ sin 225^o = -sin 45^o
  Jadi , sin 225^o = -½√2.
2. cos 210^o = cos (180^o + 30^o)
  ⇒ cos 210^o = -cos 30^o
  Jadi , cos 210^o = -½√3.
3. cos 240^o = cos (180^o + 60^o)
  ⇒ cos 240^o = -cos 60^o
  Jadi , cos 240^o = -½.
4. tan 225^o = tan (180^o – 45^o)
  ⇒ tan 225^o= tan 45^o
  Jadi , tan 225^o = 1.
Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri sudut pelurus!
a. sin 142^o
b. cos 172^o
c. tan 129^o
d. sec 146^o
e. cosec 161^o
Pembahasan
1. sin 142^o = sin (180^o – 38^o)
  ⇒ sin 142^o = sin 38^o
  Jadi , sin 142^o = sin 38^o.
2. cos 172^o = cos (180^o – 8^o)
  ⇒ cos 172^o = -cos 8^o
  Jadi , cos 172^o = -cos 8^o
3. tan 129^o = tan (180^o – 51^o)
  ⇒ tan 129^o = -tan 51^o
  Jadi , tan 129^o = -tan 51^o
4. sec 146^o = sec (180^o – 34^o)
  ⇒ sec 146^o = -sec 34^o
  Jadi , sec 146^o = -sec 34^o
5. cosec 161^o = cosec (180^o – 19^o)
  ⇒ cosec 161^o = cosec 19^o
  Jadi , cosec 161^o = cosec 19^o
Sederhanakan setiap bentuk berikut.
a. sec (90^o – α^o) / cosec (180^o – α^o)
b. cot (90^o + α^o) / sec (180^o – α^o)
c. sec (270^o – α^o) / cot (360^o + α^o)
Pembahasan
1. sec (90^o – α^o) / cosec (180^o – α^o) = cosec α^o / cosec α^o
  ⇒ sec (90^o – α^o) / cosec (180^o – α^o) = 1
  
  Jadi , sec (90^o – α^o) / cosec (180^o – α^o) = 1.
2. cot (90^o + α^o) / sec (180^o – α^o) = -tan α^o / -sec α^o
  ⇒ cot (90^o + α^o) / sec (180^o – α^o) = (sin α^o/cos α^o) / (1/cos α^o)
  
  Jadi , cot (90^o + α^o) / sec (180^o – α^o) = sin α^o
3. sec (270^o – α^o) / cot (360^o + α^o) = -cosec α^o / cot α^o
  ⇒ sec (270^o – α^o) / cot (360^o + α^o) = -(1/sin α^o) / (cos α^o/sin α^o)
  
  ⇒ sec (270^o – α^o) / cot (360^o + α^o) = -(1/cos α^o)
  
  ⇒ sec (270^o – α^o) / cot (360^o + α^o) = -sec α^o
  
  Jadi , sec (270^o – α^o) / cot (360^o + α^o) = -sec α^o

Jika α , β , dan γ yakni sudut-sudut dalam segitiga ABC , tunjukkanlah bahwa :
a. sin ½(β + γ) = cos ½α
b. cos ½(β + γ) = sin ½α
c. tan ½(β + γ) = cot ½α
Pembahasan
Ingat bahwa dalam segitiga jumlah sudutnya sam dengan 180^o , sehingga berlaku :
α + β + γ = 180^o , → β + γ = 180^o – α.
1. sin ½(β + γ) = cos ½α
  ⇒ sin ½(180^o – α) = cos ½α
  ⇒ sin (90^o – ½α) = cos ½α
  ⇒ cos ½α = cos ½α
  Terbukti.
2. cos ½(β + γ) = sin ½α
  ⇒ cos ½(180^o – α) = sin ½α
  ⇒ cos (90^o – ½α) = sin ½α
  ⇒ sin ½α = sin ½α
  Terbukti.
3. tan ½(β + γ) = cot ½α
  ⇒ tan ½(180^o – α) = cot ½α
  ⇒ tan (90^o – ½α) = cot ½α
  ⇒ cot ½α = cot ½α
  Terbukti.