Soal Dan Pembahasan Trigonometri Sinus Setengah Sudut

Pada peluang sebelumnya kami sudah membahas rumus trigonometri untuk sudut rangkap atau sudut ganda (sin 2α , cos 2α , dan tan 2α). Selanjutnya kita akan menjajal membahas soal-soal yang berhubungan dengan rumus trigonometri untuk setengah sudut (sin ½α , cos ½α , dan tan ½α). Pada peluang ini kita akan apalagi dulu membahas soal wacana sinus setengah sudut.

Pada dasarnya , rumus sinus setengah sudut diturunkan dari rumus cosinus sudut ganda. Penggunaan rumus sin ½α untuk menyeleksi nilai trigonometri sebuah sudut sanggup dikaitkan dengan identitas-identitas trigonometri yang sudah anda pelajari. Hubungan antara sinus , cosinus , dan tangen akan terlihat terang dalam rumus trigonometri setengah sudut.

Jika anda sudah mencar ilmu wacana rumus trigonometri sudut ganda , maka anda sanggup menurunkan rumus tersebut untuk membentuk rumus trigonometri setengah sudut selaku berikut :

cos 2α = 1 − 2sin² α

⇒ 2sin² α = 1 − cos 2α

⇒ sin² α = 1 − cos 2α 2

⇒ sin α = ± √1 − cos 2α 2

Dengan mengubah α menjadi ½α , maka diperoleh :

sin ½α = ± √1 − cos α 2

Keterangan :
Tanda negatif atau positif diadaptasi dengan kuadran sudut selaku berikut :
⇒ Kuadran I : sinus positif.
⇒ Kuadran II : sinus positif.
⇒ Kuadran III : sinus negatif.
⇒ Kuadran IV : sinus negatif.

Soal dan Pembahasan

Jika β merupakan sudut lancip , nyatakan perbandingan trigonometri :
1. sin β dalam sudut 2β
2. sin ½β
Pembahasan :
1. sin β dalam sudut 2β
  Karena sudut β lancip , memiliki arti sudut β berada di kuadran I dengan begitu sinus bernilai positif.
  sin β = √1 − cos 2β 2
2. sin ½β
  Karena sudut β berada di kuadran I , maka sudut ½β juga berada di kuadran I. Dengan begitu sinus untuk ½β juga bernilai positif.
  sin ½β = √1 − cos β 2
Jika α sudut tumpul , maka nyatakan perbandingan trigonometri :
1. sin α dalam sudut 2α
2. sin ½α
Pembahasan :
1. sin α dalam sudut 2α
  Karena sudut α tumpul , memiliki arti sudut α berada di kuadran II dengan begitu sinus bernilai positif.
  sin α = √1 − cos 2α 2
2. sin ½α
  Karena sudut α berada di kuadran I , maka sudut ½α berada di kuadran I. Dengan begitu sinus untuk sudut ½α juga bernilai positif.
  sin ½α = √1 − cos α 2
Dengan menggunakan rumus sin ½α , hitunglah nilai dari :
1. sin ^π⁄₁₂
2. sin 112 ½
Pembahasan :
1. sin ^π⁄₁₂ = sin ½(^π⁄₆)
  ⇒ sin ^π⁄₁₂ = √1 − cos ^π⁄₆ 2
  ⇒ sin ^π⁄₁₂ = √1 − ½√3 2
  ⇒ sin ^π⁄₁₂ = ½√(1 − √3)
  ⇒ sin ^π⁄₁₂ = ½ √(1 − √3)
2. sin 112 ¹⁄₂ = sin ½(225^o)
  ⇒ sin 112 ¹⁄₂ = √1 − cos 225^o 2
  ⇒ sin 112 ¹⁄₂ = √1 − (-½√2) 2
  ⇒ sin 112 ¹⁄₂ = ½√(2 + √2)
  ⇒ sin 112 ¹⁄₂ = ½ √(2 + √2)
Nyatakan perbandingan trigonometri sin ¾α dalam sudut 1½α.
Pembahasan :
sin ¾α = sin ½(³⁄₂α)
⇒ sin ¾α = ± √1 − cos ³⁄₂α 2
⇒ sin ¾α = ± √1 − cos 1½α 2
Diketahui α dan β sudut lancip dengan sin α = cos β = ⅘. Hitunglah :
1. sin ½α
2. sin ½β
Rumus untuk sin ½α
Pembahasan :
sin α = cos β = ⅘ , maka cos α = sin β = ⅗.
1. sin ½α
  ⇒ sin ½α = √1 − cos α 2
  ⇒ sin ½α = √1 − ⅗ 2
  ⇒ sin ½α = √(²⁄₁₀)
  ⇒ sin ½α = √(¹⁄₅)
2. sin ½β
  ⇒ sin ½β = √1 − cos β 2
  ⇒ sin ½β = √1 − ⅘ 2
  ⇒ sin ½β = √(¹⁄₁₀)