Soal Dan Pembahasan Trigonometri Cosinus Setengah Sudut

Pada potensi ini kita akan menjajal membahas soal-soal yang berhubungan dengan rumus trigonometri untuk setengah sudut (rumus sin ½α , cos ½α , dan tan ½α). Setelah membahas beberapa soal untuk sinus setengah sudut , sekarang kita akan membahas beberapa soal ihwal sinus setengah sudut. Sama seumpama sinus setengah sudut , rumus cosinus setengah sudut juga diturunkan dari rumus cosinus sudut ganda.

Penggunaan rumus cos ½α untuk menyeleksi nilai trigonometri sebuah sudut sanggup dikaitkan dengan identitas-identitas trigonometri yang sudah anda pelajari. Setelah membahas rumus sin ½α , cos ½α , dan tan ½α , anda akan menyaksikan dengan terang hubungan antara sinus , cosinus , dan tangen.

Pada postingan sebelumnya sudah dibahas rumus trigonometri sudut rangkap. Jika anda sudah mengerti rumus-rumus tersebut terutama rumus cosinus sudut ganda , maka anda niscaya sanggup menurunkan rumus tersebut untuk membentuk rumus cosinus setengah sudut selaku berikut :

cos 2α = 2 cos² α − 1

⇒ 2cos² α = 1 + cos 2α

⇒ cos² α = 1 + cos 2α 2

⇒ cos α = ± √1 + cos 2α 2

Dengan mengubah α menjadi ½α , maka diperoleh :

cos ½α = ± √1 + cos α 2

Keterangan :
Tanda negatif atau positif diubahsuaikan dengan kuadran sudut selaku berikut :
⇒ Kuadran I : cosinus positif.
⇒ Kuadran II : cosinus negatif.
⇒ Kuadran III : cosinus negatif.
⇒ Kuadran IV : cosinus positif.

Soal dan Pembahasan

Jika β ialah sudut lancip , nyatakan perbandingan trigonometri :
1. cos β dalam sudut 2β
2. cos ½β
Pembahasan :
1. cos β dalam sudut 2β
  Karena sudut β lancip , bermakna sudut β berada di kuadran I dengan begitu cosinus bernilai positif.
  cos β = √1 + cos 2β 2
2. cos ½β
  Karena sudut β berada di kuadran I , maka sudut ½β juga berada di kuadran I. Dengan begitu cosinus untuk sudut ½β juga bernilai positif.
  cos ½β = √1 + cos β 2
Jika α sudut tumpul , maka nyatakan perbandingan trigonometri :
1. cos α dalam sudut 2α
2. cos ½α
Pembahasan :
1. cos α dalam sudut 2α
  Karena sudut α tumpul , bermakna sudut α berada di kuadran II dengan begitu cosinus bernilai negatif.
  cos α = – √1 + cos 2α 2
2. cos ½α
  Karena sudut α berada di kuadran II , bermakna sudut ½α berada di kuadran I. Dengan begitu cosinus untuk sudut ½α bernilai positif.
  cos ½α = √1 + cos α 2
Dengan menggunakan rumus cos ½α , hitunglah nilai dari :
1. cos ^π⁄₁₂
2. cos 112 ½
Pembahasan :
1. cos ^π⁄₁₂ = cos ½(^π⁄₆)
  ⇒ cos ^π⁄₁₂ = √1 + cos ^π⁄₆ 2
  ⇒ cos ^π⁄₁₂ = √1 + ½√3 2
  ⇒ cos ^π⁄₁₂ = ½√(2 + √3)
  ⇒ cos ^π⁄₁₂ = ½ √(2 + √3)
2. cos 112 ¹⁄₂ = cos ½(225^o)
  ⇒ cos 112 ¹⁄₂ = – √1 + cos 225^o 2
  ⇒ cos 112 ¹⁄₂ = – √1 + (-½√2) 2
  ⇒ cos 112 ¹⁄₂ = -½√(2 − √2)
  ⇒ cos 112 ¹⁄₂ = -½ √(2 − √2)
Nyatakan perbandingan trigonometri cos ¾α dalam sudut 1½α.
Pembahasan :
cos ¾α = cos ½(³⁄₂α)
⇒ cos ¾α = ± √1 + cos ³⁄₂α 2
⇒ cos ¾α = ± √1 + cos 1½α 2
Dengan rancangan cosinus etengah sudut , tentukan nilai trigonometri berikut :
1. cos 45^o
2. cos 30^o
Rumus untuk cos ½α
Pembahasan :
Sudut 45^o dan 30^o berada di kuadran I jadi nilai cosinusnya positif.
1. cos 45^o = cos ½(90^o)
  ⇒ cos 45^o = √1 + cos 90^o 2
  ⇒ cos 45^o = √1 + 0 2
  ⇒ cos 45^o = ¹⁄_√2
  ⇒ cos 45^o = ½√2.
2. cos 30^o = cos ½(60^o)
  ⇒ cos 30^o = √1 + cos 60^o 2
  ⇒ cos 30^o = √1 + ½ 2
  ⇒ cos 30^o = ^√3⁄₂
  ⇒ cos 30^o =½√3.