Soal Dan Pembahasan Integral Parsial

Inte­gral par­sial ditandai den­gan adanya fungsi yang jikalau ditu­runk­an terus akan berni­lai nol sehing­ga dalam hal ini cuma seba­gian fungsi saja yang diin­te­gralkan sedan­gkan lain­nya ditu­runk­an. Inte­gral par­sial digu­nakan dikala inte­gral sebuah fungsi tidak sang­gup ter­tun­taskan den­gan tata cara anti turunan sesuai defin­isinya. Inte­gral par­sial biasanya digu­nakan pada inte­gral hasil kali dua fungsi yang secara laz­im beru­pa ∫ f(x).g(x) dx. Inte­gral par­sial ditandai den­gan pemisalan salah satu fungsinya f(x) = U dan g(x) dx = dV , sehing­ga dihasilkan ben­tuk lain yang biasanya dis­im­bolkan den­gan ∫ U dV. Beber­a­pa buku mungkin meng­gu­nakan sim­bol yang berlawanan tapi prin­sip­nya tetap sama.
Prin­sip­nya yakni menu­runk­an salah satu fungsi yang jikalau ditu­runk­an terus akan berni­lai nol sedan­gkan fungsi lain diin­te­gralkan. Cara ked­ua ini diang­gap lebih mudah dan lebih mudah dipa­ha­mi. Untuk lebih jelas­nya mari kita lihat beber­a­pa con­toh.
Con­toh Soal :
  1. Ten­tukan hasil dari ∫ (x + 2) sin (x + π) dx.
    Pem­ba­hasan :
    Untuk pola soal per­ta­ma ini kita akan coba diskusikan den­gan dua cara yakni den­gan rumus inte­gral par­sial dan den­gan tabel. Berikut cara per­ta­ma :
    Mis­al U = x + 2 , dV = sin (x + π) dx.
    ∫ U dV = UV − ∫ V dU
    Bacaan Lain­nya

    Berdasarkan rumus di atas , maka kita mesti men­cari apala­gi dulu V dan dU :
    U = x + 2

    dU = 1
    dx

    dU = dx

    Untuk men­cari V :
    dV = sin (x + π) dx
    ⇒ ∫ dV = sin (x + π) dx
    ⇒ V = ∫ sin (x + π) dx
    ⇒ V = ‑cos (x + π) + c

    Kem­bali ke rumus inte­gral par­sial :
    ∫ U dV = UV − ∫ V dU
    ⇒ ∫ U dV = UV − ∫ V dU
    ⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) − ∫ ‑cos (x + π) dU
    Kare­na dU = dx , maka :
    ⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) − ∫ ‑cos (x + π) dx
    ⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) − (-sin (x + π) + c)
    ⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) + sin (x + π) + c

    Cara ked­ua :

    Turunk­an U Inte­gralkan dV
    x + 2 (+) sin (x + π) dx
    1 (−) -cos (x + π)
    0 -sin (x + π)

    Selan­jut­nya jum­lahkan hasil kali baris yang diwar­nai den­gan war­na sama dan amati tan­danya :
    ⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) − (-sin (x + π) + c
    ⇒ ∫ U dV = -(x + 2)(cos (x + π) + sin (x + π) + c

  2. Ten­tukan hasil dari ∫ x2 cos x dx.
    Pem­ba­hasan :
    Turunk­an U Inte­gralkan dV
    x2 (+) cos x dx
    2x (−) sin x
    2 (+) -cos x
    0 -sin x

    Selan­jut­nya jum­lahkan hasil kali baris yang diwar­nai den­gan war­na sama dan amati tan­danya :
    ⇒ ∫ U dV = x2 (sin x) − 2x (-cos x) + 2 (-sin x) + c
    ⇒ ∫ U dV = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + c

  3. Ten­tukan hasil dari ∫ (4x + 2) cos (2x +5) dx.
    Pem­ba­hasan :
    Turunk­an U Inte­gralkan dV
    4x + 2 (+) cos (2x + 5) dx
    4 (−) ½ sin (2x + 5)
    0 -¼ cos (2x + 5)

    Selan­jut­nya jum­lahkan hasil kali baris yang diwar­nai den­gan war­na sama dan amati tan­danya :
    ⇒ ∫ U dV = (4x + 2)(½ sin (2x + 5)) − 4 (-¼ cos (2x + 5)) + c
    ⇒ ∫ U dV = (2x + 1).sin (2x + 5) + cos (2x + 5) + c

  4. Ten­tukan hasil dari ∫ x (x + 4)5 dx.
    Pem­ba­hasan :
    Turunk­an U Inte­gralkan dV
    x (+) (x + 4)5 dx
    1 (−) ⅙ (x + 4)6
    0 ⅙.17 (x + 4)7

    Selan­jut­nya jum­lahkan hasil kali baris yang diwar­nai den­gan war­na sama dan amati tan­danya :
    ⇒ ∫ U dV = x(⅙ (x + 4)6) − 1(142 (x + 4)7) + c
    ⇒ ∫ U dV = ⅙x (x + 4)6 − {142 (x + 4)(x + 4)6} + c
    ⇒ ∫ U dV = ⅙x (x + 4)6 − {142 x + 221)(x + 4)6} + c
    ⇒ ∫ U dV = {⅙x − (142 x + 221)}.(x + 4)6 + c 
    ⇒ ∫ U dV = (⅙x − 142 x − 221).(x + 4)6 + c 
    ⇒ ∫ U dV = (642 x − 221).(x + 4)6 + c
    ⇒ ∫ U dV = (17 x − 221).(x + 4)6 + c
    ⇒ ∫ U dV = 121 (3x − 2).(x + 4)6 + c

  5. Ten­tukan hasil dari ∫ x3 sin x dx
    Pem­ba­hasan :
    Turunk­an U Inte­gralkan dV
    x3 (+) sin x dx
    3x2 (−) -cos x
    6x (+) -sin x
    6 (−) cos x
    0 sin x

    Selan­jut­nya jum­lahkan hasil kali baris yang diwar­nai den­gan war­na sama dan amati tan­danya :
    ⇒ ∫ U dV = x3 (-cos x) − 3x2 (-sin x) + 6x (cos x) − 6 (sin x) + c
    ⇒ ∫ U dV = ‑x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x − 6 sin x + c
    ⇒ ∫ U dV = (3x− 6) sin x − (x3 − 6x) cos x + c

Share ke Face­book »Share ke Twit­ter »
Cafeberita.com yakni blog men­ge­nai materi bela­jar. Gunakan sug­uhan atau pen­car­i­an untuk men­da­p­atkan materi bergu­ru yang ingin dipela­jari.

Pos terkait