Soal Dan Pembahasan Hukum Rantai Fungsi Trigonometri

Untuk menjawab soal-soal turunan fungsi trigonometri yang sederhana kita masih sanggup menggunakan rumus dasar. Akan tapi , untuk soal yang lebih rumit kita mesti menggunakan hukum rantai. Aturan rantai pada turunan fungsi trigonometri prinsipnya sama dengan hukum rantai pada turunan fungsi aljabar. Agar kita sanggup menggunakan hukum rantai pasti kita mesti mengetahui desain dasar turunan fungsi trigonometri dan menguasai konsep-konsep trigonometri alasannya adakalanya kita mesti mengganti fungsi trigonometri ke bentuk lain yang lebih sederhana. Seringkali alasannya kurang paham bentuk-bentuk trigonometri , kita melupakan soal-soal turunan begitu saja padahal soal tersebut tidak terlampau sulit.

Seperti yang sudah dibahas pada postingan sebelumnya , hukum rantai umumnya digunakan untuk menjawab soal turunan fungsi yang berpangkat. Bentuk lazim hukum rantai untuk turunan fungsi trigonometri merupakan selaku berikut:

Aturan Rantai Umum

Jika y = [f(x)]ⁿ , maka y’ = n [f(x)]^n-1. f ‘(x)

Dengan :
y = fungsi awal
y’ = turunan pertama fungsi y
f(x) = sebarang fungsi
f'(x) = turunan pertama fungsi f(x).
Fungsi Sinus
Jika fungsi y = c sinⁿ f(x) , maka turunan pertamanya merupakan :
Bacaan Lainnya
y’ = c.n sin^n-1 f(x). cos f(x).f ‘(x)

Dengan :
y = fungsi awal
y’ = turunan pertama fungsi y
c = konstanta
n = bilangan pangkat
f(x) = sebarang fungsi
f'(x) = turunan pertama fungsi f(x).
Fungsi Cosinus
Jika fungsi y = c cosⁿ f(x) , maka turunan pertamanya merupakan :

y’ = -c.n cos^n-1 f(x). sin f(x).f ‘(x)

Dengan :
y = fungsi awal
y’ = turunan pertama fungsi y
c = konstanta
n = bilangan pangkat
f(x) = sebarang fungsi
f'(x) = turunan pertama fungsi f(x).

Contoh Soal :

Tentukan turunan pertama dari r = √sin θ.
Pembahasan :
Dari soal : f(θ) = θ , maka f ‘(θ) = 1
r = (sin θ)^½
⇒ r’ = c.n sin^n-1 f(θ). cos f(θ).f ‘(θ)
⇒ r’ = ½ (sin)^½-1 θ.cos θ (1)
⇒ r’ = ½ (sin θ)^-½.cos θ

⇒ r’ = cos θ

2(sin θ)^½

⇒ r’ = cos θ

2√sin θ
Tentukan turunan pertama dari fungsi y = sin² (2x + 3).
Pembahasan :
Dari soal : f(x) = 2x + 3 , maka f ‘(x) = 2
y = sin² (2x + 3)
⇒ y = {sin (2x + 3)}²
⇒ y’ = c.n sin^n-1 f(x). cos f(x).f ‘(x)
⇒ y’ = 2 sin^2-1 (2x + 3). cos (2x + 3).(2)
⇒ y’ = 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3).
Jika f(x) = -(cos² x − sin² x) , maka tentukanlah turunan pertamanya.
Pembahasan :
Terdapat dua fungsi , dengan f(x) sama yakni :
f(x) = x , maka f ‘(x) = 1.
Maka turunn pertamanya merupakan :
f(x) = -(cos² x − sin² x)
⇒ y’ = -{-c.n cos^n-1 f(x). sin f(x).f ‘(x) − c.n sin^n-1 f(x). cos f(x).f ‘(x)}
⇒ y’ = -{-2 cos^2-1 x. sin x (1) − 2 sin^2-1 x. cos x (1)}
⇒ y’ = -(-2 cos x. sin x − 2 sin x. cos x)
⇒ y’ = -(-2 sin x. cos x − 2 sin x. cos x)
⇒ y’ = -(-4 sin x.cos x)
⇒ y’ = 4 sin x cos x.
Jika y = √1 + sin² x , maka pastikan turunan pertamanya.
Pembahasan :
Dari soal dipahami :
⇒ f(x) = 1 + sin² x
⇒ f ‘(x) = 0 + 2 sin x cos x = 2 sin x cos x.
Jadi turunan pertamanya merupakan :
y = (1 + sin² x)^½
⇒ y’ = n [f(x)]^n-1. f ‘(x)
⇒ y’ = ½ (1 + sin² x)^½-1. 2 sin x cos x
⇒ y’ = (1 + sin² x)^-½. sin x cos x

⇒ y’ = sin x cos x

(1 + sin² x)^½

⇒ y’ = sin x cos x

√1 + sin² x
Tentukan turunan pertama dari y = (sin x + cos x)².

Pembahasan :
⇒ f(x) = sin x + cos x
⇒ f ‘(x) = cos x – sin x
Jadi turunan pertamanya merupakan :
y = (sin x + cos x)²
⇒ y’ = n [f(x)]^n-1. f ‘(x)
⇒ y’ = 2 (sin x + cos x)^2-1.(cos x − sin x)
⇒ y’ = 2 (sin x + cos x).(cos x − sin x)
⇒ y’ = 2 (cos x + sin x).(cos x − sin x)
⇒ y’ = 2 (cos² x − sin² x)
⇒ y’ = 2 (cos² x − (1 − cos² x))
⇒ y’ = 2 (2cos² x − 1)
⇒ y’ = 4cos² x − 2.