Soal Dan Balasan Trigonometri Tangen Sudut Ganda

Setelah membahas tentang trigonometri sudut ganda untuk sinus 2α dan cosinus 2α , kini kita akan membahas tentang rumus tan 2α. Sama menyerupai sinus dan cosinus , rumus tan 2α juga diturunkan dari rumus tangen untuk jumlah dua sudut , tan (α + β). Kita sanggup menggunakan rumus tangen sudut rangkap untuk menjumlah nilai tangen sebuah sudut yang nilainya dua kali sudut istimewa.

Kita juga sanggup mempergunakan rumus tan 2α untuk menyatakan sebuah bentuk trigonometri dalam bentuk sudut relasinya. Pada lazimnya kita sanggup menggunakan rumus tan 2α apabila nilai sin atau cos sebuah sudut diketahui. Setelah nilai tan α dikethaui maka nilai tan 2α sanggup diputuskan dengan mudah.

tan 2α = tan α + tan α 1 − tan α tan α
⇒ tan 2α = 2 tan α 1 − tan² α

Soal dan Pembahasan Trigonometri

1. Dengan menggunakan rumus tan 2α , nyatakan :
   1. tan α dalam bentuk ½α
   2. tan 3α dalam bentuk ³⁄₂α

   Pembahasan :

   1. tan α = tan 2(½α)
      ⇒ tan α = tan ½α + tan ½α 1 − tan ½α tan ½α
      ⇒ tan α = 2 tan ½α 1 − tan² ½α
   2. tan 3α = tan 2 (³⁄₂α)
      ⇒ tan 3α = tan ³⁄₂α + tan ³⁄₂α 1 − tan ³⁄₂α tan ³⁄₂α
      ⇒ tan 3α = 2 tan ³⁄₂α 1 − tan^{2 3}⁄₂α
2. Jika dimengerti α dan β sudut lancip dengan sin α = cos  β = ⅘ , maka tentukanlah nilai :
   1. tan 2α
   2. tan 2β

   Pembahasan :
   Karena sin α = cos  β = ⅘ , maka :
   ⇒ tan α = ⁴⁄₃
   ⇒ tan β = ³⁄₄

   1. tan 2α = tan (α + α)
      ⇒ tan 2α = 2 tan α 1 − tan²α
      ⇒ tan 2α = 2 (⁴⁄₃) 1 − (⁴⁄₃)²
      ⇒ tan 2α =  ⁸⁄₃ 1 −  ¹⁶⁄₉
      ⇒ tan 2α = –²⁴⁄₇
   2. tan 2β = tan (β + β)
      ⇒ tan 2β = 2 tan β 1 − tan²β
      ⇒ tan 2β = 2 (³⁄₄) 1 − (³⁄₄)²
      ⇒ tan 2β =  ³⁄₂ 1 −  ⁹⁄₁₆
      ⇒ tan 2β = ²⁴⁄₇
3. Dengan desain tan 2α , buktikan bahwa :
   1. tan 60^o = √3
   2. tan 120^o = -√3

   Pembahasan :

   1. tan 60^o = √3
      ⇒ tan 60^o = 2 tan 30^o 1 − tan²30^o
      ⇒ tan 60^o = 2 (⅓√3) 1 − (⅓√3)²
      ⇒ tan 60^o =  ⅔√3 1 −  ⅓
      ⇒ tan 60^o =  ⅔√3 ⅔
      ⇒ tan 60^o = √3
      (Terbukti).
   2. tan 120^o = -√3
      ⇒ tan 60^o = 2 tan 60^o 1 − tan²60^o
      ⇒ tan 60^o = 2 (√3) 1 − (√3)²
      ⇒ tan 60^o =  2√3 1 − 3
      ⇒ tan 60^o =  2√3 -2
      ⇒ tan 60^o = -√3
      (Terbukti).
4. Tanpa menggunakan tabel triogonometri atau kalkulator , hitunglah nilai :
   1. 2 tan  ^π⁄₈ 1 − tan^{2 π}⁄₈
   2. 4 tan  ^π⁄₁₂ 1 − tan^{2 π}⁄₁₂

   Pembahasan :

   Rumus untuk tan 2α

   

   1. 2 tan  ^π⁄₈ 1 − tan^{2 π}⁄₈ = tan 2( ^π⁄₈)
      ⇒ 2 tan  ^π⁄₈ 1 − tan^{2 π}⁄₈ = tan  ^π⁄₄
      ⇒ 2 tan  ^π⁄₈ 1 − tan^{2 π}⁄₈ = tan 45^o
      ⇒ 2 tan  ^π⁄₈ 1 − tan^{2 π}⁄₈ = 1
   2. 4 tan  ^π⁄₁₂ 1 − tan^{2 π}⁄₁₂ = 2 tan 2( ^π⁄₁₂)
      ⇒ 4 tan  ^π⁄₁₂ 1 − tan^{2 π}⁄₁₂ = 2 tan  ^π⁄₆
      ⇒ 4 tan  ^π⁄₁₂ 1 − tan^{2 π}⁄₁₂ = 2 tan 30^o
      ⇒ 4 tan  ^π⁄₈ 1 − tan^{2 π}⁄₈ = ⅔√3

Share ke Facebook >>Share ke Twitter >>