Soal Dan Balasan Trigonometri Sinus Sudut Ganda

Sudut ganda atau sudut rangkap yakni dua kali sudut tertentu (2α) , dengan α yakni sudut tunggal. Pada trigonometri sudut ganda akan dibahasa beberapa materi yakni rumus sin 2α , cos 2α , dan tan 2α. Rumus-rumus tersebut juga akan digunakan selaku contoh dalam penentuan rumus trigonometri sudut setengah (½α).

Pada dasarnya , rumus trigonometri sudut ganda mengikuti sebuah kaidah khusus yang sanggup kita manfaatkan untuk menyeleksi nilai perbaningan trigonometri sebuah sudut. Rumus-rumus trigonometri sudut ganda diturunkan dari rumus trigonometri jumlah dua sudut yang sudah dibahas pada postingan sebelumnya.

Rumus untuk sin 2α diturunkan dari rumus sin (α + β). Jika β = α , maka bentuk tersebut akan menjadi sin (2α). Berdasarkan rumus trigonomeri jumlah dua sudut , maka diperoleh :

sin 2α = sin (α + α)

⇒ sin 2α = sin α .cos α + cos α sin α

⇒ sin 2α = 2 sin α .cos α

Kumpulan Soal dan Pembahasan

Dengan menggunakan desain sin 2α , nyatakan sin α dalam perbandingan trigonometri ½α.

Pembahasan :
sin α = sin 2 (½α)
⇒ sin α = 2 sin ½α cos ½α
Jadi , sin α = 2 sin ½α cos ½α
Jika dipahami α yakni sudut lancip dengan sin α = ⅗ , maka hitunglah nilai dari sin 2α.

Pembahasan :
Ingat , alasannya sin α = ⅗ , maka cos α = ⅘.
sin 2α = 2 sin α cos α
⇒ sin 2α = 2 (⅗) (⅘)
⇒ sin 2α = ²⁴⁄₂₅
Jadi , sin 2α = ²⁴⁄₂₅.
Diketahui 3α = (2α + α) , buktikan bahwa sin 3α = -4 sin³α + 3sin α.

Pembahasan :
sin 3α = -4 sin³α + 3sin α
⇒ sin (2α + α) = -4 sin³α + 3sin α
⇒ sin 2α cos α + cos 2α sin α = -4 sin³α + 3sin α
⇒ (2 sin α cos α) cos α + (1 − 2 sin²α) sin α = -4 sin³α + 3sin α
⇒ 2 sin α cos²α + (sin α − 2 sin³α) = -4 sin³α + 3sin α
⇒ 2 sin α cos²α + sin α − 2 sin³α = -4 sin³α + 3sin α
Ingat bahwa cos²α = 1 − sin²α , sehingga :
⇒ 2 sin α (1 − sin²α) + sin α − 2 sin³α = -4 sin³α + 3sin α
⇒ 2 sin α − 2 sin³α + sin α − 2 sin³α = -4 sin³α + 3sin α
⇒ 3 sin α − 4 sin³α = -4 sin³α + 3sin α
⇒ -4 sin³α + 3 sin α = -4 sin³α + 3sin α
(Terbukti).
Jika ABC yakni sudut dalam segitiga , tunjukkanlah bahwa sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.

Pembahasan :
Karena segitiga , maka A + B + C = 180^o = π.
A = π – (B + C)
⇒ 2A = 2π – (2B + 2C)
⇒ sin 2A = sin {2π – (2B + 2C)}
⇒ sin 2A = sin 2π cos (2B + 2C) − cos 2π sin (2B + 2C)
⇒ sin 2A = 0. cos (2B + 2C) − (1) sin (2B + 2C)
⇒ sin 2A = -sin (2B + 2C)
⇒ sin 2A = -{sin 2B cos 2C + cos 2B sin 2C)
⇒ sin 2A = -sin 2B cos 2C − cos 2B sin 2C
Selanjutnya , substitusi sin 2A ke soal yang ditanya.
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
⇒ -sin 2B cos 2C − cos 2B sin 2C + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
⇒ -sin 2B cos 2C + sin 2B − cos 2B sin 2C + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
⇒ sin 2B (1 − cos 2C) + sin 2C (1 − cos 2B) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 2 sin B cos B (2 sin²C) + 2 sin C cos C (2 sin²B) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 4 sin B cos B (sin²C) + 4 sin C cos C (sin²B) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 4 sin B sin C (cos B sinC + cos C sin B) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 4 sin B sin C (sin B cosC + cos B sin C) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 4 sin B sin C sin (B + C) = 4 sin A sin B sin C
Ingat bahwa B + C = π – A , maka :
⇒ 4 sin B sin C sin (π – A) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 4 sin B sin C (sin A) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 4 sin B sin C (sin A) = 4 sin A sin B sin C
⇒ 4 sin A sin B sin C = 4 sin A sin B sin C.
(Terbukti).
Nyatakan sin 3α dalam sudut ³⁄₂α.

Rumus untuk sin 2α

Pembahasan :
sin 3α = sin 2(³⁄₂α)
⇒ sin 3α = 2 sin ³⁄₂α cos ³⁄₂α