Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Metode Substitusi

Cafeberita.com – Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) yaitu metode persamaan linear yang memiliki tiga variabel atau tiga peubah. Sistem persamaan linear tiga variabel berisikan tiga persamaan linear yang memiliki tiga peubah yang sama. Sama seumpama metode persamaan linear dua variabel , metode persamaan linear tiga variabel juga sanggup ditanggulangi dengan metode substitusi , metode eliminasi , dan metode determinan. Prinsip pengerjaannya juga sama dengan metode persamaan linear dua variabel. Pada potensi ini , Bahan mencar ilmu sekolah akan membahas cara menyeleksi himpunan solusi metode persamaan linear tiga variabel menggunakan metode substitusi namun sebelum membahas metode tersebut , ada baiknya kita mengerti apalagi dahulu bentuk lazim dari metode persaman linear tiga variabel.

Bentuk Umum SPLTV

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) sanggup diperluas menjadi metode persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan penambahan suatu peubah dan suatu persamaan linear lainnya. Sesuai namanya , SPLTV berisikan tiga persamaan linear yang memiliki tiga variabel.

Perlu dikenang bahwa pada metode persamaan linear , ketiga persamaan penyusunnya memiliki variabel yang sama. Secara lazim , metode persamaan linear tiga variabel dalam peubah x , y , dan z memiliki bentuk lazim selaku berikut:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Pada bentuk lazim di atas , x , y , dan z yaitu peubah sedangkan a₁ , b₁ , c₁ , d₁ , a₂ , b₂ , c₂ , d₃ , a₃ , b₃ , c₃ , dan d₃ ialah bilangan-bilangan real yang menjadi pembeda antara satu persamaan dengan persamaan lainnya.

Contoh metode persamaan linear tiga variabel:
x – 2y + z = 6
7x- 6y – z = 10
3x + y – 2z = 4

Peubah atau variabel yang digunakan dalam SPLTV tidak mesti x , y , dan z namun sanggup juga menggunakan abjad yang lain , misalnya:
5a + 3b + c = 2
3a + 2b + c = 3
4a + 2b + c = 1

Sistem persamaan linear tiga variabel sanggup ditanggulangi dengan cara menyeleksi nilai peubah x , y , dan z yang berseseuaian biar ketiga persamaan penyusun SPLTV berlaku. Dengan kata lain , nilai x , y , dan z yang diperoleh mesti menyanggupi ketiga persamaan.

Misal nilai peubah yang menyanggupi ketiga persamaan tersebut yaitu x’ , y’ , dan z’ , maka himpunan solusi untuk metode persamaan linear tiga variabel tersebut sanggup dinyatakan dengan HP : {(x’ , y’ , z’)}.

Prinsip solusi metode persamaan lineat tiga variabel sama dengan metode persamaan linear dua variabel. Intin pengerjaannya yaitu merubah bentuknya ke bentuk lebih sederhana kemudian menyeleksi nilai salah satu peubah sampai nilai peubah yang lain juga diketahui.

Penyelesaian SPLTV Metode Substitusi

Metode substitusi untuk solusi metode persamaan linear tiga varaibel dilaksanakan dengan cara mensubstitusikan salah satu peubah yang diambil dari salah satu persamaan linear paling sederhana ke persamaan yang lain sampai diperoleh SPLDV.

Setelah diperoleh metode persamaan linear dua varaibel , berikutnya ditanggulangi dengan prinsip yang serupa pada solusi SPLDV. Secara garis besar berikut tindakan solusi SPLTV dengan metode substitusi:
1. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana
2. Nyatakan salah satu peubah selaku fungsi peubah lain (misal x selaku fungsi y dan z)
3. Substitusi peubah pada langkah kedua ke dua persamaan lainnya
4. Sederhanakan sehingga diperoleh SPLDV
5. Selesaikan SPLDV menggunakan metode substitusi.

Contoh Soal :
Dengan menggunakan metode substitusi , tentukanlah himpunan solusi metode persamaan linear tiga variabel (SPLTV) berikut ini:
x + y – z = -3
x + 2y + z = 7
2x + y + z = 4

Pembahasan :
Pertama , kita tetapkan dahulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada , persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama , nyatakan peubah x selaku fungsi y dan z selaku berikut:
⇒ x + y – z = -3
⇒ x = -3 – y + z

Substitusi peubah x ke dalam persamaan kedua:
⇒ x + 2y + z = 7
⇒ (-3 – y + z) + 2y + z = 7
⇒ -3 + y + 2z = 7
⇒ y + 2z = 7 + 3
⇒ y + 2z = 10

Substitusi perubah x ke dalam persamaan ketiga:
⇒ 2x + y + z = 4
⇒ 2(-3 – y + z) + y + z = 4
⇒ -6 – 2y + 2z + y + z = 4
⇒ -y + 3z = 4 + 6
⇒ -y + 3z = 10

Kita dapatkan SPLDV selaku berikut:
y + 2z = 10
-y + 3z = 10

Selanjutnya kita tuntaskan SPLDV di atas dengan cara substitusi. Pilih salah satu persamaan yang sederhana. Dari persamaan pertama kita peroleh:
⇒ y + 2z = 10
⇒ y = 10 – 2z

Substitusi peubah y ke dalam persamaan kedua:
⇒ -y + 3z = 10
⇒ -(10 – 2z) + 3z = 10
⇒ -10 + 2z + 3z = 10
⇒ 5z = 10 + 10
⇒ 5z = 20
⇒ z = 4

Substitusi z = 4 ke salah satu persamaan pada SPLDV:
⇒ y + 2z = 10
⇒ y + 2(4) = 10
⇒ y + 8 = 10
⇒ y = 10 – 8
⇒ y = 2

Selanjutnya , substitusi nilai x dan y ke dalam salah satu persamaan yang ada pada SPLTV:
⇒ x + y – z = -3
⇒ x + 2 – 4 = -3
⇒ x – 2 = -3
⇒ x = -3 + 2
⇒ x = -1

Jadi , himpunan solusi SPLTV tersebut yaitu {(-1 , 2 , 4)}.

Untuk memutuskan bahwa nilai x , y , dan z yang diperoleh sudah benar , anda sanggup mengeceknya dengan cara mensubstitusi nilai z , y , dan z ke dalam ketiga persamaan pada SPLTV.

Persamaan pertama:
⇒ x + y – z = -3
⇒ -1 + 2 – 4 = -3
⇒ -3 = -3 (Benar)

Persamaan kedua:
⇒ x + 2y + z = 7
⇒ -1 + 2(2) + 4 = 7
⇒ -1 + 4 + 4 = 7
⇒ 7 = 7 (Benar)

Persamaan ketiga:
⇒ 2x + y + z = 4
⇒ 2(-1) + 2 + 4 = 4
⇒ -2 + 2 + 4 = 4
⇒ 4 = 4 (Benar).

Berdasarkan pembuktian di atas , maka sanggup ditentukan bahwa nilai x , y , dan z yang diperoleh sudah benar dan menyanggupi metode persamaan linear tiga variabel yang diselesaikan.