Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Metode Eliminasi

Cafeberita.com – Selain menggunakan metode substitusi , metode persamaan linear tiga variabel (SPLTV) juga sanggup dituntaskan dengan menggunakan metode eliminasi atau dengan metode adonan yang menggunakan metode eliminasi dan substitusi secara bersamaan. Prinsip pengerjaannya sama dengan metode persamaan linear dua variabel yakni dengan cara mengeliminasi salah satu variabel sehingga diperoleh metode persamaan linear dua variabel (SPLDV) Setelah diperoleh SPLDV , berikutnya sanggup dituntaskan menggunakan metode eliminasi atau menggunakan metode substitusi. Pada peluang ini , Bahan Belajar sekolah akan membahas cara menyeleksi himpunan solusi metode persamaan linear tiga variabel menggunakan metode eliminasi dan metode campuran.

SPLTV Metode Eliminasi

Metode eliminasi ialah metode solusi metode persamaan linear dengan cara menetralisir salah satu peubah sehingga dihasilkan metode persamaan linear dengan jumlah peubah lebih sedikit. Untuk SPLTV , kita gunakan metode eliminasi biar tersisa dua variabel saja.

Untuk mengeliminasi peubah tertentu , maka kita mesti menyamakan bilangan yang ada di belakang peubah tersebut sehingga saling menghapus ketika dikurang atau dijumlah. Untuk menyamakannya , maka persamaan mesti dikali dengan bilangan tertentu.

Berikut langkah solusi menggunakan metode eliminasi:
1. Pilih bentuk peubah yang paling sederhana
2. Eliminasi salah satu peubah (misal x) sehingga diperoleh SPLDV
3. Eliminasi salah satu peubah SPLDV (misal y) sehingga diperoleh nilai salah satu peubah
4. Eliminasi peubah yang lain (yaitu z) untuk memperoleh nilai peubah yang kedua
5. Tentukan nilai peubah ketiga (yaitu x) menurut nilai (y dan z) yang diperoleh.

Contoh Soal:
Dengan menggunakan metode eliminasi , tentukan himpunan solusi metode persamaan linear tiga variabel berikut ini:
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20

Pembahasan :
Langkah pertama kita tentukan variabel apa yang mau kita eliminasi apalagi dahulu. Untuk memudahkan , lihat peubah yang paling sederhana. Pada tiga persamaan di atas , peubah yang paling sederhana yakni peubah x sehingga kita akan eliminasi x apalagi dahulu.

Untuk menetralisir peubah x , maka kita mesti samakan bilangannya. Pada persamaan pertama dan ketiga sudah sama namun persamaan kedua berbeda. Untuk menyamakannya , persamaan kedua dikali 1 , persamaan pertama dan ketiga dikali 2.

x + 3y + 2z = 16  |x 2| ⇒ 2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y – 2z = 12 |x 1| ⇒ 2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20    |x 2| ⇒ 2x + 2y + 8z = 40

Selanjutnya , kita eliminasi peubah x sehingga diperoleh metode persamaan linear dua variabel dengan variabel y dan z dengan proses seumpama di bawah ini.

Dari persamaan pertama dan kedua diperoleh:
2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y – 2z = 12 _
        2y + 6z = 20

Dari persamaan kedua dan ketiga diperoleh:
2x + 4y – 2z = 12
2x + 2y + 8z = 40 _
        2y – 10z = -28

Dengan demikian kita dapatkan SPLDV selaku berikut:
2y + 6z = 20
2y – 10z = -28

Selanjutnya kita tuntaskan SPLDV dengan metode eliminasi.

Eliminasi peubah y untuk memperoleh nilai z:
2y + 6z = 20
2y – 10z = -28 _
        16z = 48
            z = 3

Eliminasi peubah z untuk memperoleh nilai y:
2y + 6z = 20    |x 5| ⇒ 10y + 30z = 100
2y – 10z = -28 |x 3| ⇒ 6y – 30z = -84

10y + 30z = 100
6y – 30z = -84 +
16y = 16
y = 1

Langkah terakhir , substitusi nilai y dan z yang diperoleh ke salah satu persamaan pada SPLTV:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 – 9
⇒ x = 7

Jadi , himpunan solusi SPLTV tersebut yakni {(7 , 1 , 3)}.

Untuk menyidik balasan sudah benar atau belum , substitusikan nilai x , y , dan z ke dalam ketiga persamaan pada SPLTV.

Penyelesaian SPLTV Metode Campuran

Penyelesaian metode persamaan linear dengan metode adonan ialah cara solusi dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi. Metode ini sanggup dilakukan dengan substitusi apalagi dulu atau dengan eliminasi apalagi dahulu.

Pada peluang ini kita akan menjajal metode adonan dengan mengeliminasi apalagi dulu gres lalu menggunakan substitusi. Prosesnya nyaris sama seumpama di atas namun pada metode adonan , SPLDV yang diperoleh diseslesaikan dengan metode substitusi.

Contoh Soal:
Tentukan himpunan solusi metode persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode campuran.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20

Pembahasan :
Langkah pertama kita eliminasi salah satu peubah dalam SPLTV sehingga diperoleh SPLDV.
x + 3y + 2z = 16  |x 2| ⇒ 2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y – 2z = 12 |x 1| ⇒ 2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20    |x 2| ⇒ 2x + 2y + 8z = 40

Selanjutnya , kita eliminasi peubah x sehingga diperoleh metode persamaan linear dua variabel dengan variabel y dan z dengan proses seumpama di bawah ini.

Dari persamaan pertama dan kedua diperoleh:

2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y – 2z = 12	_
2y + 6z = 20

Dari persamaan kedua dan ketiga diperoleh:

2x + 4y – 2z = 12
2x + 2y + 8z = 40	_
2y – 10z = -28

Dengan demikian kita dapatkan SPLDV selaku berikut:
2y + 6z = 20
2y – 10z = -28

Kalau pada metode eliminasi , SPLDV di atas kita tuntaskan dengan metode eliminasi. Pada metode adonan , SPLDV nya kita tuntaskan dengan metode substitusi selaku berikut:

Dari persamaan pertama kita peroleh:
⇒ 2y + 6z = 20
⇒ 2y = 20 – 6z

Substitusi 2z ke persamaan kedua:
⇒ 2y – 10z = -28
⇒ (20 – 6z) – 10z = -28
⇒ -16z = -28 – 20
⇒ -16z = -48
⇒ z = 3

Selanjutnya substitusi nilai z untuk memperoleh nilai y:
⇒ 2y + 6z = 20
⇒ 2y + 6(3) = 20
⇒ 2y + 18 = 20
⇒ 2y = 20 – 18
⇒ 2y = 2
⇒ y = 1

Langkah terakhir , substitusi nilai y dan z yang diperoleh ke salah satu persamaan pada SPLTV:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 – 9
⇒ x = 7

Jadi , himpunan solusi SPLTV tersebut yakni {(7 , 1 , 3)}.