Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Metode Eliminasi

Cafeberita.com — Selain meng­gu­nakan metode sub­sti­tusi , metode per­samaan lin­ear tiga vari­abel (SPLTV) juga sang­gup ditun­taskan den­gan meng­gu­nakan metode elim­i­nasi atau den­gan metode ado­nan yang meng­gu­nakan metode elim­i­nasi dan sub­sti­tusi secara bersamaan. Prin­sip penger­jaan­nya sama den­gan metode per­samaan lin­ear dua vari­abel yakni den­gan cara men­ge­lim­i­nasi salah satu vari­abel sehing­ga diper­oleh metode per­samaan lin­ear dua vari­abel (SPLDV) Sete­lah diper­oleh SPLDV , berikut­nya sang­gup ditun­taskan meng­gu­nakan metode elim­i­nasi atau meng­gu­nakan metode sub­sti­tusi. Pada pelu­ang ini , Bahan Bela­jar seko­lah akan mem­ba­has cara menyelek­si him­punan solusi metode per­samaan lin­ear tiga vari­abel meng­gu­nakan metode elim­i­nasi dan metode cam­pu­ran.

SPLTV Metode Eliminasi

Metode elim­i­nasi ialah metode solusi metode per­samaan lin­ear den­gan cara men­e­tral­isir salah satu peubah sehing­ga dihasilkan metode per­samaan lin­ear den­gan jum­lah peubah lebih sedik­it. Untuk SPLTV , kita gunakan metode elim­i­nasi biar ter­sisa dua vari­abel saja.

Bacaan Lain­nya

Untuk men­ge­lim­i­nasi peubah ter­ten­tu , maka kita mesti menya­makan bilan­gan yang ada di belakang peubah terse­but sehing­ga sal­ing meng­ha­pus keti­ka diku­rang atau dijum­lah. Untuk menya­makan­nya , maka per­samaan mesti dikali den­gan bilan­gan ter­ten­tu.

SUBTOPIK

  • Menen­tukan Him­punan Penye­le­sa­ian SPLDV Metode Sub­sti­tusi
  • Menen­tukan Him­punan Penye­le­sa­ian SPLTV Metode Sub­sti­tusi
  • Menen­tukan Him­punan Penye­le­sa­ian SPLTV Metode Elim­i­nasi
  • Mer­an­cang Mod­el Matem­ati­ka Sis­tem Per­samaan Lin­ear Tiga Vari­abel
  • Menen­tukan Him­punan Penye­le­sa­ian SPLK Implisit

Berikut langkah solusi meng­gu­nakan metode elim­i­nasi:
1. Pil­ih ben­tuk peubah yang pal­ing seder­hana
2. Elim­i­nasi salah satu peubah (mis­al x) sehing­ga diper­oleh SPLDV
3. Elim­i­nasi salah satu peubah SPLDV (mis­al y) sehing­ga diper­oleh nilai salah satu peubah
4. Elim­i­nasi peubah yang lain (yaitu z) untuk mem­per­oleh nilai peubah yang ked­ua
5. Ten­tukan nilai peubah keti­ga (yaitu x) menu­rut nilai (y dan z) yang diper­oleh.

Con­toh Soal:
Den­gan meng­gu­nakan metode elim­i­nasi , ten­tukan him­punan solusi metode per­samaan lin­ear tiga vari­abel berikut ini:
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y — 2z = 12
x + y + 4z = 20

Pem­ba­hasan :
Langkah per­ta­ma kita ten­tukan vari­abel apa yang mau kita elim­i­nasi apala­gi dahu­lu. Untuk memu­dahkan , lihat peubah yang pal­ing seder­hana. Pada tiga per­samaan di atas , peubah yang pal­ing seder­hana yakni peubah x sehing­ga kita akan elim­i­nasi x apala­gi dahu­lu.

Untuk men­e­tral­isir peubah x , maka kita mesti samakan bilan­gan­nya. Pada per­samaan per­ta­ma dan keti­ga sudah sama namun per­samaan ked­ua berbe­da. Untuk menya­makan­nya , per­samaan ked­ua dikali 1 , per­samaan per­ta­ma dan keti­ga dikali 2.

x + 3y + 2z = 16  |x 2| ⇒ 2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y — 2z = 12 |x 1| ⇒ 2x + 4y — 2z = 12
x + y + 4z = 20    |x 2| ⇒ 2x + 2y + 8z = 40

Selan­jut­nya , kita elim­i­nasi peubah x sehing­ga diper­oleh metode per­samaan lin­ear dua vari­abel den­gan vari­abel y dan z den­gan pros­es seumpa­ma di bawah ini.

Dari per­samaan per­ta­ma dan ked­ua diper­oleh:
2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y — 2z = 12 _
        2y + 6z = 20

Dari per­samaan ked­ua dan keti­ga diper­oleh:
2x + 4y — 2z = 12
2x + 2y + 8z = 40 _
        2y — 10z = ‑28

Den­gan demikian kita dap­atkan SPLDV selaku berikut:
2y + 6z = 20
2y — 10z = ‑28

Selan­jut­nya kita tun­taskan SPLDV den­gan metode elim­i­nasi.

Elim­i­nasi peubah y untuk mem­per­oleh nilai z:
2y + 6z = 20
2y — 10z = ‑28 _
        16z = 48
            z = 3

Elim­i­nasi peubah z untuk mem­per­oleh nilai y:
2y + 6z = 20    |x 5| ⇒ 10y + 30z = 100
2y — 10z = ‑28 |x 3| ⇒ 6y — 30z = ‑84

10y + 30z = 100
6y — 30z = ‑84 +
16y = 16
y = 1

Langkah ter­akhir , sub­sti­tusi nilai y dan z yang diper­oleh ke salah satu per­samaan pada SPLTV:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 — 9
⇒ x = 7

Jadi , him­punan solusi SPLTV terse­but yakni {(7 , 1 , 3)}.

Untuk menyidik bal­asan sudah benar atau belum , sub­sti­tusikan nilai x , y , dan z ke dalam keti­ga per­samaan pada SPLTV.

Penyelesaian SPLTV Metode Campuran

Penye­le­sa­ian metode per­samaan lin­ear den­gan metode ado­nan ialah cara solusi den­gan meng­gu­nakan metode elim­i­nasi dan sub­sti­tusi. Metode ini sang­gup dilakukan den­gan sub­sti­tusi apala­gi dulu atau den­gan elim­i­nasi apala­gi dahu­lu.

Penyelesaian SPLTV metode eliminasi

Pada pelu­ang ini kita akan men­ja­jal metode ado­nan den­gan men­ge­lim­i­nasi apala­gi dulu gres lalu meng­gu­nakan sub­sti­tusi. Pros­es­nya nyaris sama seumpa­ma di atas namun pada metode ado­nan , SPLDV yang diper­oleh dis­esle­saikan den­gan metode sub­sti­tusi.

Con­toh Soal:
Ten­tukan him­punan solusi metode per­samaan lin­ear tiga vari­abel di bawah ini den­gan meng­gu­nakan metode cam­pu­ran.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y — 2z = 12
x + y + 4z = 20

Pem­ba­hasan :
Langkah per­ta­ma kita elim­i­nasi salah satu peubah dalam SPLTV sehing­ga diper­oleh SPLDV.
x + 3y + 2z = 16  |x 2| ⇒ 2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y — 2z = 12 |x 1| ⇒ 2x + 4y — 2z = 12
x + y + 4z = 20    |x 2| ⇒ 2x + 2y + 8z = 40

Selan­jut­nya , kita elim­i­nasi peubah x sehing­ga diper­oleh metode per­samaan lin­ear dua vari­abel den­gan vari­abel y dan z den­gan pros­es seumpa­ma di bawah ini.

Dari per­samaan per­ta­ma dan ked­ua diper­oleh:

2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y — 2z = 12 _
        2y + 6z = 20

Dari per­samaan ked­ua dan keti­ga diper­oleh:

2x + 4y — 2z = 12
2x + 2y + 8z = 40 _
        2y — 10z = ‑28

Den­gan demikian kita dap­atkan SPLDV selaku berikut:
2y + 6z = 20
2y — 10z = ‑28

Kalau pada metode elim­i­nasi , SPLDV di atas kita tun­taskan den­gan metode elim­i­nasi. Pada metode ado­nan , SPLDV nya kita tun­taskan den­gan metode sub­sti­tusi selaku berikut:

Dari per­samaan per­ta­ma kita per­oleh:
⇒ 2y + 6z = 20
⇒ 2y = 20 — 6z

Sub­sti­tusi 2z ke per­samaan ked­ua:
⇒ 2y — 10z = ‑28
⇒ (20 — 6z) — 10z = ‑28
⇒ ‑16z = ‑28 — 20
⇒ ‑16z = ‑48
⇒ z = 3

Selan­jut­nya sub­sti­tusi nilai z untuk mem­per­oleh nilai y:
⇒ 2y + 6z = 20
⇒ 2y + 6(3) = 20
⇒ 2y + 18 = 20
⇒ 2y = 20 — 18
⇒ 2y = 2
⇒ y = 1

Langkah ter­akhir , sub­sti­tusi nilai y dan z yang diper­oleh ke salah satu per­samaan pada SPLTV:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 — 9
⇒ x = 7

Jadi , him­punan solusi SPLTV terse­but yakni {(7 , 1 , 3)}.

Share ke Face­book »Share ke Twit­ter »
Cafeberita.com yakni blog wacana materi bela­jar. Gunakan Kolom Search atau pen­car­i­an untuk men­da­p­atkan materi bergu­ru yang ingin dipela­jari.

Pos terkait