Rumus Menyeleksi Jumlah Deret Geometri Tak Hingga

Cafeberita.com – Deret Geometri Tak Hingga. Deret geometri merupakan jumlah dari suku-suku pada barisan geometri. Untuk deret geometri dengan jumlah suku yang masih sanggup disebutkan , maka jumlah deret tersebut biasanya dibilang selaku jumlah n suku pertama deret geometri dengan n menyatakan banyak suku yang hendak dijumlahkan. Lalu bagaimana kalau deret geometri memiliki jumlah suku yang sungguh banyak sampai mendati tak hingga? Apakah jumlahnya sanggup diputuskan menggunakan rumus? Untuk deret dengan jumlah suku mendekati tak sampai maka akan ada dua keadaan yang mesti diperhatikan. Pada peluang ini , edutafsi akan memaparkan sifat deret tak sampai dan cara menyeleksi jumlah deret tak hingga.

A. Bentuk Deret Geometri Tak Hingga

Jika deret geometri berisikan beberapa suku U₁ , U₂ , U₃ , U₄ , … , Un , maka yang dimaksud dengan deret geometri tak sampai merupakan deret geometri dengan jumlah suku yang terlampau banyak mendekati tak sampai (n → ∞). Secara sederhana deret geometri tak sampai sanggup ditulis menjadi U₁ , U₂ , U₃ , U₄ , …. , U∞.

Pada pembahasan sebelumnya , edutafsi sudah membahas bagaimana cara menyeleksi jumlah n suku pertama deret geometri dan jumlah tersebut disimbolkan dengan Sn. Untuk deret geometri tak sampai , maka banyak suku yang hendak dijumlahkan menjadi tak terhingga banyaknya. Jumlah deret tak sampai biasanya disimbolkan dengan S∞.

Sesuai dengan rumus jumlah n suku pertama deret geometri yang berupa fungsi eksponen dalam r , maka Sn bergantung pada nilai rⁿ. Untuk sebarang nilai n (1 , 2 , 3 , …) jumlah n suku pertama diputuskan menurut rumus jumlah deret tersebut. Untuk n tak sampai (n → ∞) , maka rumus jumlah n suku pertama masih sanggup disederhanakan.

Penentukan jumlah deret tak sampai intinya sama dengan rumus jumlah n suku pertama dengan memasukkan n = ∞. Tetapi , dengan nilai tak sampai tersebut ternyata terdapat keadaan khusus yang menghasilkan rumusnya menjadi lebih sederhana. Sebelumnya sudah dibahas bahwa rumus jumlah n suku pertama sanggup ditulis selaku berikut :

⇒ Sn =	a(1 − rn)
	1 – r

Jika diuraikan , bentuk rumus di atas sanggup diubah menjadi :

⇒ Sn =	a − arn
	1 – r

⇒ Sn =	a	−	a . rn
	1 – r		1 – r

Selain bergantung pada nilai n , jumlah n suku pertama juga bergantung pada nilai rasio deret tersebut. Berdasarkan interval rasionya , deret tak sampai sanggup dibedakan menjadi dua jenis , yakni deret tak sampai divergen dan deret tak sampai konvergen.

#1 Deret Tak Hingga Divergen
Deret tak sampai divergen merupakan deret geometri tak sampai yang rasionya lebih besar dari satu atau lebih kecil dari negatif satu (r 1). Untuk rasio pada rentang tersebut , kian besar n maka nilai rⁿ juga akan kian besar. Lalu bagaimana kalau n tak hingga?

Jika r > 1 dan n menuju tak sampai (n → ∞) , maka nilai eksponen rⁿ juga akan menuju tak sampai (rⁿ → ∞). Untuk r < -1 dan n tak sampai , juga akan dihasilkan nilai rⁿ tak hingga. Dengan demikian , deret tak sampai ini bersifat divergen (memencar) dan tak punya limit jumlah.

Jika rⁿ → ∞ , maka rumus jumlah deret tak sampai akan menjadi :
⇒ S∞ = a/(1 – r) − a.rⁿ/(1 – r)
⇒ S∞ = a/(1 – r) − a(∞)/(1 – r)
⇒ S∞ = ± ∞

#2 Deret Tak Hingga Konvergen
Deret tak sampai konvergen merupakan deret geometri tak sampai yang rasionya berada di antara negatif 1 dan satu (-1 < r < 1). Jika menyaksikan interval tersebut , maka deret geometri tak sampai konvergen merupakan deret geometri dengan rasio berupa bilangan penggalan yang lebih besar dari -1 dan lebih kecil dari 1.

Jika r < 1 dan n menuju tak sampai (n → ∞) , maka nilai eksponen rⁿ juga akan mendekati nol (rⁿ → 0). Begitu juga ketika r > -1 dan n menuju tak sampai , maka nilai eksponen rⁿ juga akan mendekati nol. Berdasarkan keadaan tersebut , deret tak sampai ini bersifat memusat dan memiliki limit jumlah.

Jika rⁿ → 0 , maka rumus jumlah deret tak sampai akan menjadi :
⇒ S∞ = a/(1 – r) − a.rⁿ/(1 – r)
⇒ S∞ = a/(1 – r) − a(0)/(1 – r)
⇒ S∞ = a/(1 – r) − 0
⇒ S∞ = a/(1 – r)

Perhatikan bahwa rumus jumlah deret tak sampai konvergen menjadi lebih sederhana alasannya merupakan rⁿ = 0. Dengan rumus di atas , jumlah deret geometri tak sampai yang rasioanya lebih besar dari -1 dan lebih kecil dari 1 sanggup ditentukan. Perhatikan bahwa rumus tersebut cuma berlaku untuk deret tak sampai dengan -1 < r < 1.

B. Rumus Deret Tak Hingga Konvergen

Berdasarkan kategori pada nomor dua di atas , sanggup dilihat bahwa untuk deret geometri tak sampai yang bersifat konvergen (memusat) , maka jumlah deret tak sampai menjadi lebih sederhana dibanding rumus jumlah n suku pertama. Jumlah deret geometri tak sampai konvergen sanggup dijumlah menggunakan rumus berikut ini.

S∞ = a 1 − r

Keterangan :
S = jumlah deret geometri tak hingga
a = suku pertama deret geometri
r = rasio deret geometri (-1 < r < 1).

Contoh : 
Diberikan deret geometri selaku berikut : 4 , 2 , 1 , 1/2 , 1/4 , 1/8 , …. Tentukanlah jumlah deret tersebut untuk banya suku mendekati tak hingga.

Pembahasan :
Dik : a = 4 , r = 2/4 = 1/2 = ½
Dit : S∞ =

Pada soal dipahami rasio deretnya bernilai lebih kecil dari 1. Dengan demikian , deret tersebut merupakan deret tak sampai yang bersifat konvergen. Dengan menggunakan rumus deret tak sampai kovergen maka diperoleh :
⇒ S∞ = a/(1 – r)
⇒ S∞ = 4/(1 – ½)
⇒ S∞ = 4/½
⇒ S∞ = 8

Jadi , jumlah deret tak sampai untuk deret geometri tersebut merupakan 8.

Demikianlah pembahasan singkat perihal cara menyeleksi jumlah deret geometri tak sampai konvergen. Jika materi mencar ilmu ini berharga , bantu kami membagikannya terhadap teman-teman anda lewat tombol share yang tersedia di bawah ini.