Rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri Dilengkapi Contoh

Cafeberita.com – Integral Fungsi Trigonometri. Ketika membahas tentang pemahaman dan jenis-jenis integral , edutafsi sudah menyinggung sedikit tentang jenis integral bedasarkan bentuk fungsinya. Jika dilihat dari bentuk fungsinya , maka ada beberapa macam integral seumpama integral fungsi konstanta , integral fungsi pangkat , integral fungsi eksponen , integral fungsi trigonometri , dan sebagainya. Integral fungsi trigonometri merupakan suatu integral yang integrannya berupa fungsi trigonometri. Dengan kata lain , pada integral tersebut fungsi yang mau diintegrasikan merupakan fungsi berupa trigonometri. Lalu , bagaimana bentuk dan rumus dasar untuk integral fungsi trigonometri? Pada peluang ini , edutafsi akan memaparkan beberapa rumus yang biasa dalam integral fungsi trigonometri.

A. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Sama sepertti integral kebanyakan , integral fungsi trigonometri secara garis besar sanggup dibedakan menjadi dua jenis , yakni integral tak pasti fungsi trigonometri dan integral pasti fungsi trigonometri. Sesuai dengan definisi integral tak pasti dan integral pasti , maka perbedaan keduanya terletak pada ada tidaknya batas untuk variabel integrasinya. Pada integral tak pasti fungsi trigonometri tidak ada batas untuk variabel integrasinya sedangkan pada integral pasti ada batas variabel integrasinya.

Integral tak pasti fungsi trigonometri merupakan bentuk integral yang integran nya berupa fungsi trigonometri dan variabel integrasinya tak mempunyai batas. Karena variabel integrasinya tak mempunyai batas-batas , maka hasil dari integral tak pasti fungsi trigonometri hanyalah berupa penyelsaian lazim yang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah suatu tetapan integrasi yang disimbolkan dengan aksara c.

Karena fungsi integran (fungsi yang mau diintegralkan) berupa fungsi trigonometri , maka penyelesaiannya pun melibatkan beberapa desain atau identitas trigonometri. Oleh lantaran itu , dalam materi ini , murid seharusnya mengingat kembali konsep-konsep penting yang ada dalam materi trigonometri tergolong identitas trigonometri dan turunan fungsi trigonometri.

Karena integral merupakan operasi balikan dari diferensial (anti diferensial) , maka integral dari fungsi trigonometri sanggup terselesaikan dengan berpatokan pada hasil dari turunan beberapa fungsi trigonometri. Misalnya , turunan dari sin x merupakan cos x , maka integral dari cos x merupakan sin x + c.

Secara lazim , jikalau f(x) merupakan suatu fungsi dalam bentuk trigonometri , maka integral tak pasti dari fungsi f(x) sanggup terselesaikan dengan rumus dasar integral tak pasti selaku berikut:

∫ f(x) dx = F(x) + c

Keterangan :
f(x) = fungsi integran (dalam hal ini berupa trigonometri)
F(x) = solusi lazim dari integral f(x)
dx = variabel integrasi
c = tetapan integrasi.

Untuk menyaksikan bagaimana proses menyeleksi hasil integral tak pasti fungsi trigonometri , berikut ini edutafsi jabarkan beberapa fungsi trigonometri yang biasa digunakan dalam soal integral.

#1 Integral Fungsi cos x
Jika diberikan fungsi F(x) = sin x dan f(x) merupakan turunan dari F(x) , maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(sin x)/dx
⇒ f(x) = cos x

Karena turunan dari sin x merupakan cos x , maka integral dari f(x) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ cos x dx = sin x + c

Secara lazim , persamaan tersebut sanggup diperluas selaku berikut:

∫ cos ax dx = 1/a sin ax + c

∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c

Contoh :
Jika diberikan f(x) = cos 3x + 5 , maka tentukanlah integral dari f(x).

Pembahasan :
Dik : f(x) = cos 3x + 5 maka a = 3 dan b = 5
Dit :  ∫ f(x) dx = …. ?

Berdasarkan rumus di atas , maka diperoleh :
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ (cos 3x + 5) dx
⇒ ∫ f(x) dx = 1/3 sin (3x + 5) + c.

#2 Integral Fungsi sin x
Jika diberikan fungsi F(x) = cos x dan f(x) merupakan turunan dari F(x) , maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(cos x)/dx
⇒ f(x) = -sin x

Karena turunan dari cos x merupakan -sin x , maka integral dari f(x) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ -sin x dx = cos x + c
⇒ ∫ sin x dx = -cos x + c

Secara lazim , persamaan tersebut sanggup diperluas selaku berikut:

∫ sin ax dx = – 1/a cos ax + c

∫ sin (ax + b) dx = – 1/a cos (ax + b) + c

Contoh :
Tentukanlah hasil integrasi dari ∫ 6 sin 2x dx!

Pembahasan :
Dik : f(x) = 6 sin 2x maka a = 2
Dit :  ∫ 6 sin 2x dx = …. ?

Berdasarkan rumus di atas , maka diperoleh :
⇒ ∫ 6 sin 2x dx = 6 ∫ sin 2x dx
⇒ ∫ 6 sin 2x dx = 6 (-1/2 cos 2x + c)
⇒ ∫ 6 sin 2x dx = -3 cos 2x + c.

#3 Integral Fungsi sec² x
Jika diberikan fungsi F(x) = tan x dan f(x) merupakan turunan dari F(x) , maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(tan x)/dx
⇒ f(x) = sec² x

Karena turunan dari tan x merupakan sec² x , maka integral dari f(x) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ sec² x dx = tan x + c

Secara lazim , persamaan sanggup diperluas selaku berikut:

∫ sec2 ax dx = 1/a tan ax + c

∫ sec2 (ax + b) dx = 1/a tan (ax + b) + c

Contoh :
Tentukan hasil dari ∫ -4 sec² (8x) dx!

Pembahasan :
Dik : f(x) =  -4 sec² (8x) , maka a = 8
Dit : ∫ f(x) dx = …?

Berdasarkan rumus integral di atas , diperoleh:
⇒ ∫ -4 sec² (8x) dx = -4 ∫ sec² (8x) dx
⇒ ∫ -4 sec² (8x) dx = -4 (1/8 tan 8x + c)
⇒ ∫ -4 sec² (8x) dx = -½ tan 8x + c.

#4 Integral Fungsi tan x. sec x
Jika diberikan fungsi F(x) = sec x dan f(x) merupakan turunan dari F(x) , maka turunan dari fungsi tersebut adalah:
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d(sec x)/dx
⇒ f(x) = tan x. sec x

Karena turunan dari sec x merupakan tan x. sec x , maka integral dari f(x) adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ tan x. sec x dx = sec x + c

Secara lazim , persamaan sanggup diperluas selaku berikut:

∫ tan ax. sec ax dx = 1/a sec ax + c

∫ tan (ax + b). sec (ax + b) dx = 1/a sec (ax + b) + c

Contoh :
Jika diberi suatu fungsi f(x) = tan (2x + 5). sec (2x + 5) , maka pastikan integral dari f(x).

Pembahasan :
Dik : f(x) = tan (2x + 5). sec (2x + 5) , maka a = 2 dan b = 5
Dit : ∫ f(x) dx = …?

Berdasarkan rumus integral di atas , maka diperoleh:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ tan (2x + 5). sec (2x + 5) dx
⇒ ∫ f(x) dx = ½ sec (2x + 5) + c.

B. Integral Tentu Fungsi trigonometri

Integral pasti fungsi trigonometri merupakan integral dengan integran berupa fungsi trigonometri dan mempunyai batas untuk variabel integrasinya. Karena fungsi integran berupa trigonometri , maka batas variabel integrasinya berupa besar sudut dan biasanya dinyatakan dengan π radian.

Secara lazim , jikalau f(x) merupakan suatu fungsi dalam bentuk trigonometri , maka integral pasti dari fungsi f(x) dengan batas atas b dan batas bawah a sanggup terselesaikan dengan rumus dasar integral pasti selaku berikut:

a∫b f(x) dx = F(b) − F(a)

Keterangan :
f(x) = fungsi integran (dalam hal ini berupa trigonometri)
dx = variabel integrasi (berupa sudut dinyatakan dalam π radian)
a = batas bawah variabel integrasi
b = batas atas variabel integrasi.
F(b) = hasil integrasi untuk batas atas
F(a) = hasil integrasi untuk batas bawah.

Contoh :
Tentukanlah hasil integral dari f(x) = cos x dengan batas atas ½π dan batas bawah 0.

Pembahasan :
Dik : f(x) = cos x , a = 0 , b = ½π
Dit :  _o∫^½π f(x) dx = …. ?

Untuk memudahkan , kita uraikan satu-persatu. Kita sanggup pastikan F(x) apalagi dahulu.
⇒ ∫ f(x) dx = F(x) + c
⇒ ∫ cos x dx = sin x + c
⇒ F(x) = sin x ….. (1)

Untuk batas atas , subtitusi x = b = π/2 ke persamaan (1):
⇒ F(x) = sin x
⇒ F(π/2) = sin π/2
⇒ F(π/2) = sin 90^o
⇒ F(π/2) = 1

Untuk batas bawah , subtitusi x = a = 0 ke persamaan (1):
⇒ F(x) = sin x
⇒ F(0) = sin 0
⇒ F(0) = 0

Berdasarkan rumus integral pasti , maka :
⇒ _a∫^b f(x) dx = F(b) − F(a)
⇒ _o∫^½π cos x dx = F(π/2) − F(0)
⇒ _o∫^½π cos x dx = 1 – 0
⇒ _o∫^½π cos x dx = 1.

Demikianlah pembahasan singkat tentang pemahaman dan rumus integral fungsi trigonometri yang berisikan integral tak pasti dan integral pasti fungsi trigonometri dilengkapi dengan contoh. Jika materi berguru ini berharga , bantu kami membagikannya terhadap teman-teman anda lewat tombol share di bawah ini.