Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor

Pada postingan sebelumnya , kita sudah membahasa perihal perkalian dua vektor. Perkalian dua vektor dibedakan menjadi perkalian titik dan perkalian silang. Perkalian titik (dot product) menciptakan skalar sedangkan perkalian silang menciptakan vektor. Hasil dari perkalian silang atau cross product antara dua vektor yakni suatu vektor gres yang arahnya tegak lurus kepada bidang dimana kedua vektor yang dikalikan berada. Prinsip perkalian silang dua buah vektor mengikuti hukum tangan kanan.

Bila nilai atau besar vektor gres yang diperoleh lewat perkalian silang antara dua vektor diputuskan , maka nilai tersebut akan sama dengan hasil kali besar kedua vektor dengan sinus sudut apitnya yang secara metamtis sanggup ditulis :

|A x B| = |A|.|B| sin θ

Dengan :

|A| = besar vektor A

|B| = besar vektor B

θ = sudut antara vektor A dan vektor B

Berikut beberapa hal penting dan lazim yang berlaku dalam perkalian silang dua vektor :

Bersifat Antikomutatif
Jika dua buah vektor dikalikan secara silang , maka akan berlaku sifat antikomutatif yang secara matematis ditulis :
Bacaan Lainnya
A x B = -B x A
Contoh :
Jika dua vektor A dan B dinyatakan dengan : A = 2î + 2ĵ − 3k̂ , dan B = -2î + 3ĵ − 4k̂. Buktikanlah bahwa A x B = -B x A.
Pembahasan :
Perkalian silang A x B :

⇒ A x B = i j k i       j

2 2 -3 2     2

-2 3 -4 -2    3

⇒ A x B = {i(2)(-4) + j(-3)(-2) + k(2)(3)} − {k(2)(-2) + i(-3)(3) + j(2)(-4)}
⇒ A x B = (-8i + 6j + 6k) − {-4k − 9i − 8j}
⇒ A x B = i + 14j + 10k
Perkalian silang B x A :

⇒ B x A = i j k i       j

-2 3 -4 -2     3

2 2 -3 2      2

⇒ B x A = {i(3)(-3) + j(-4)(2) + k(-2)(2)} − {k(3)(2) + i(-4)(2) + j(-2)(-3)}
⇒ B x A = (-9i − 8j − 4k) − {6k − 8i + 6j}
⇒ B x A = -i − 14j − 10k
Jika hasil di atas kita hubungkan , maka :
⇒ A x B = -B x A
⇒ i + 14j + 10k = -(-i − 14j − 10k)
⇒ i + 14j + 10k = i + 14j + 10k
(Terbukti).
Dua Vektor Saling Tegak Lurus
Jika kedua vektor yang dikalikan saling tegak lurus maka sudut antara kedua vektor yakni 90^o , sehingga :
|A x B| = |A|.|B| sin θ
|A x B| = |A|.|B| sin 90^o
|A x B| = |A|.|B| (1)
|A x B| = |A|.|B|
Dua Vektor Segaris
Jika kedua vektor berada satu garis dan searah , maka sudut antara kedua vektor yakni 0^o , sehingga :
|A x B| = |A|.|B| sin θ
|A x B| = |A|.|B| sin 0^o
|A x B| = |A|.|B| (0)
|A x B| = 0

Jika kedua vektor berada satu garis dan bertentangan arah , maka sudut antara dua vektor tersebut yakni 180^o , sehingga :

|A x B| = |A|.|B| sin θ
|A x B| = |A|.|B| sin 180^o
|A x B| = |A|.|B| (0)
|A x B| = 0