Penyelesaian Metode Persamaan Linear Dan Kuadrat Implisit

Cafeberita.com – Sistem persamaan linear dan kuadrat implisit merupakan metode persamaan yang berisikan persamaan linear dan persamaan kuadrat dengan bab kuadratnya berupa implisit. Bagian kuadrat dari SPLK dibilang berupa implisit kalau bab tersebut tidak sanggup dinyatakan dalam bentuk fungsinya. Misal bab kuadrat dengan peubah x dan y dibilang berupa implisit kalau persamaan tersebut tidak sanggup dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit biasanya dinyatakan dalam bentuk f(x , y) = 0 sehingga pada metode persamaan linear dan kuadrat implisit , bab kuadratnya biasanya bernilai sama dengan nol. Pada peluang ini , materi berguru sekolah akan membahas beberapa bentuk dan cara menyeleksi himpunan solusi metode persamaan linear dan kuadrat implisit.

Bentuk Umum SPLK Implisit

Persamaan yang mengandung dua peubah x dan y dibilang berupa implisit kalau persamaan tersebut tidak sanggup dinyatakan dalam bentuk x = f(y) atau y = f(x). Sistem persamaan linear dan kuadrat dengan bab kuadrat berupa implisit sanggup dilihat dari bentuk bab kuadratnya.

Pada SPLK implisit , bab kuadrat biasanya mengandung dua peubah yang memiliki pangkat kuadrat. Berikut beberapa teladan persamaan dua variabel yang berupa implisit:
1). x² + y² + 12 = 0
2). x² + y² + 4x – 24 = 0
3). 2x² – y² + 4xy + 3x – 2y – 6 = 0

Pada postingan sebelumnya sudah dibahas bahwa SPL sanggup dibedakan menjadi SPLK dengan bab kuadrat eksplisit dan SPLK dengan bab kuadrat implisit. Pada gambar di bawah ini ditunjukkan perbedaan antara bentuk eksplisit dan bentuk implisit.

Secara lazim , metode persamaan linear dan kuadrat dengan bab kuadrat berupa implisit dalam peubah x dan y sanggup ditulis selaku berikut:

Bagian linear : px + qy + r = 0
Bagian kuadrat : ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0

Pada bentuk di atas , x dan y merupakan variabel sedangkan a , b , c , d , e , f , p , q , dan r merupakan bilangan-bilangan real. Berdasarkan bentuk bab kuadratnya , SPLK implisit sanggup dibedakan menjadi dua jenis , yaitu:
1. SPLK implisit , dengan bab kuadrat sanggup difaktorkan
2. SPLK implisit , dengan bab kuadrat tidak sanggup difaktorkan.

Penyelesaian SPLK , Bagian Kuadrat Dapat Difaktorkan

Secara lazim , SPLK implisit sanggup dituntaskan dengan cara mensubstitusi bab linear ke bab kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat. Setelah itu diputuskan akar-akar persamaan kuadratnya dan diputuskan nilai variabel lainnya.

Akan tetapi , alasannya bab kuadratnya sanggup difaktorkan , kita sanggup menyelesaikannya dengan cara memfaktorkan bab kuadratnya apalagi dulu sehingga dihasilkan dua persamaan linear. Persamaan linear tersebut digabung dengan persamaan linear yang dipahami membentuk dua SPLDV.

Setelah diperoleh dua SPLDV , berikutnya kita tetapkan solusi untuk masing-masing SPLDV menurut prinsiip solusi SPLD baik dengan metode eliminasi atau metode substitusi. Untuk lebih jelasnya , amati teladan berikut.

Contoh Soal:
Tentukan himpunan solusi untuk SPLK berikut ini:
x + y = 4
x² – 2xy + y² – 4 = 0

Pembahasan :
Langkah pertama , faktorkan bab kuadratnya:
⇒ x² – 2xy + y² – 4 = 0
⇒ (x – y)² – 4 = 0
⇒ (x – y – 2)(x – y + 2) = 0

Dari proses di atas , kita dapatkan dua persamaan linear selaku berikut:
1). x – y – 2 = 0
2). x – y + 2 = 0

Selanjutnya , gabungkan kedua masing-masing persamaan di atas dengan persamaan linear x + y = 4 sehingga diperoleh dua metode persamaan linear dua variabel (SPLDV).

SPLDV pertama:
x + y = 4
x – y – 2 = 0

SPLDV kedua:
x + y = 4
x – y + 2 = 0

Selanjutnya kita tetapkan solusi untuk masing-masing SPLDV dengan menggunakan metode eliminasi atau metode substitusi. Kali ini , kita akan coba metode substitusi.

Penyelesaian SPLDV pertama:
⇒ x + y = 4
⇒ x = 4 – y

Substitusi ke persamaan x – y – 2 = 0
⇒ x – y – 2 = 0
⇒ (4 – y) – y – 2 = 0
⇒ 4 – 2y – 2 = 0
⇒ -2y = -2
⇒ y = 1

Substitusi y = 1 ke persamaan x + y = 4
⇒ x + 1 = 4
⇒ x = 4 – 1
⇒ x = 3

HP = {(3 , 1)}.

Penyelesaian SPLDV kedua:
⇒ x + y = 4
⇒ x = 4 – y

Substitusi ke persamaan x – y + 2 = 0
⇒ x – y + 2 = 0
⇒ (4 – y) – y + 2 = 0
⇒ 4 – 2y + 2 = 0
⇒ -2y = -6
⇒ y = 3

Substitusi y = 3 ke persamaan x + y = 4
⇒ x + 3 = 4
⇒ x = 4 – 3
⇒ x = 1

HP = {(1 , 3)}.

Jadi , himpunan solusi untuk SPLK tersebut merupakan {(3 , 1) , (1 , 3)}.

Penyelesaian SPLK , Bagian Kuadrat Tidak Dapat Difaktorkan

Untuk SPLK implisi yang bab kuadratnya tidak sanggup difaktorkan , maka kita sanggup menyelesaikannya dengan cara mensubstitusikan bab linear ke bab kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat satu variabel.

Setelah akar dari persamaan linear yang terbentuk diperoleh , berikutnya kita tetapkan nilai variabel yang lain dengan cara mensubstitusikan nilai variabel yang sudah dipahami (nilai itu diperoleh dari akar persamaan kuadrat).

Contoh soal :
Tentukan himpunan solusi SPLK berikut:
x + y = 0
x² + y² – 8 = 0

Pembahasan :
Langkah pertama , nyatakan bab linear dalam bentuk x atau y sebagia berikut:
⇒ x + y = 0
⇒ y = -x

Langkah kedua , substitusikan y ke dalam bab kuadrat:
⇒ x² + y² – 8 = 0
⇒ x² + (-x)² – 8 = 0
⇒ x² + x² – 8 = 0
⇒ 2x² – 8 = 0
⇒ x² – 4 = 0