spot_imgspot_img

Top 5 This Week

spot_img

Related Posts

Pengertian Dan Rumus Dasar Untuk Integral Tak Pasti

Cafeberita.com -Integral Tak Tentu. Integral merupakan bentu operasi matematika yang menyatakan kelabikan dari differensial atau turunan sehingga disebut juga selaku anti diferensial. Dalam operasi integral terdapat notasi integral dan notasi variabel integrasi. Berdasarkan ada tidaknya batas untuk variabel integrasi , secara lazim integral dibedakan menjadi dua jenis , yakni intgeral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral). Pada pembahasan sebelumnya , edutafsi sudah membahas pengenalan dasar perihal kedua jenis integral ini. Pada materi berguru ini , akan dibahas bagaimana hukum dan rumus dasar dari integral tak tentu.

A. Pengertian Integral Tak Tentu

Integral tak tentu merupakan bentuk integral yang variabel integrasinya tidak punya batas sehingga integrasi dari suatu fungsi akan menciptakan banyak kemungkinan dan cuma dinyatakan selaku penyelesaian umum. Istilah tak tentu mempunyai arti bentuk fungsi F menampung konstanta real sembarang. Konstanta sembarang ini biasanya disimbolkan dengan karakter c dan menjadi ciri dari hasi integrasi tak tentu.

Mengapa hasil integral tak tentu memiliki banyak kemungkinan dan cuma berupa penyelesaian umum? Hasil integral tak tentu disebut demikian alasannya merupakan memang tidak sanggup ditentukan fungsi mana yang merupakan integral dari suatu integran. Integran merupakan perumpamaan untuk suatu fungsi yang hendak ditarik integralnya. Untu lebih jelasnya , mari simak ulasan berikut ini.

Seperti defenisinya , integral intinya merupakan operasi balikan dari turunan (diferensial). Maksudnya , kalau f(x) merupakan turunan dari F(x) , maka kita sanggup menyeleksi F(x) dengan cara mengintegralkan f(x). Akan tetapi , pada kenyataannya , dikala f(x) diintegralkan maka alhasil tidak cuma berupa F(x) melainkan mengandung suatu tetapan yakni c.

Rumus dasar integral tak tentu

Sebagai pola , mari kita ambil suatu fungsi , katakan F(x) = 3x2. Jika f(x) merupakan turunan dari fungsi F(x) , maka diperoleh :
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d (3x2)/dx
⇒ f(x) = 6x

Kemudian diberikan juga fungsi kedua dalam variabel x , misalnya F(x) = 3x2 + 4. Jika f(x) merupakan turunan dari fungsi F(x) , maka diperoleh :
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d (3x2 + 4)/dx
⇒ f(x) = 6x

Nah , pada kedua proses diferensiasi (menurunkan) di atas , sanggup dilihat bahwa kedua fungsi tersebut menciptakan turunan yang serupa , yakni sama-sama 6x.

Jika berpatokan pada fungsi pertama F(x) = 3x2 , maka hasil dari integral 6x merupakan :
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 6x dx
⇒ ∫ f(x) dx ≈ 3x2

Sebaliknya , kalau berpatokan pada fungsi kedua F(x) = 3x2 + 4 , maka integral dari 6x adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 6x dx
⇒ ∫ f(x) dx ≈ 3x2 + 4

Dari kedua proses integrasi di atas , sanggup kita lihat bahwa integral dari 6x ternyata tidak menciptakan satu balasan yang niscaya , alasannya merupakan sanggup saja jawabannya merupakan 3x2 atau 3x2 + 4. Jawaban dari integral 6x juga sanggup saja fungsi lain misalnya 3x2 + 10 , 3x2 – 6 , dan sebagainya. Oleh alasannya merupakan itu , balasan dari integral tak tentu cuma sanggup ditulis selaku penyelesaian lazim dengan menyertakan suatu tetapan integrasi c.

Dengan demikian , kalau f(x) merupakan turunan dari F(x) , maka hasil integrasi dari f(x) sanggup ditulis selaku berikut:

∫ f(x) dx = F(x) + c

Keterangan :
∫ = notasi integral tak tentu
f(x) = integran atau fungsi yang hendak ditarik integralnya
dx = variabel integrasi
F(x) = fungsi lazim penyelesaian
c = tetapan atau konstanta integrasi.

B. Aturan dan Rumus Dasar Integral

Pada dasarnya hasil integral dari suatu fungsi sanggup diputuskan dengan cara menduga proses turunannya. Untuk fungsi yang sederhana , cara ini sanggup saja berhasil. Akan tetapi , untuk fungsi yang lebih kompleks tentunya akan sungguh susah untuk meruntut proses turunannya mudah-mudahan diperoleh integrasinya. Oleh alasannya merupakan itu , dalam penyelesaian integral terdapat beberapa hukum dasar yang sanggup dijadikan selaku standar untuk menyelesaikan duduk kasus integral.

#1 Integral Tak Tentu Suatu Konstanta
Diberikan suatu fungsi F(x) = kx. Jika f(x) merupakan turunan dari F(x) , maka f(x) = k. Dengan demikian , integral dari k akan mengandung penyelesaian lazim yakni kx + c. Jika fungsi yang hendak diintegralkan (integran) tidak mengandung variabel atau cuma berupa konstanta , maka hasil integralnya akan mengikuti rumus dasar berikut ini:

∫ k dx = kx + c

Keterangan :
k = konstanta atau bilangan tertentu
c = tetapan integrasi.

Contoh :
Tentukan hasil integral dari beberapa bentuk di bawah ini:
(a). ∫ 6 dx      (b). ∫ 8 dy       (c). ∫ 4 dt

Pembahasan :
Sesuai dengan hukum dasar untuk fungsi konstanta , maka diperoleh:
a). ∫ 6 dx = 6x + c
b). ∫ 8 dy = 8y + c
c). ∫ 4 dt = 4t + c

#2 Integral Tak Tentu Fungsi Pangkat
Integral tak tentu dari suatu fungsi pangkat sanggup diartikan selaku fungsi pangkat lain yang diperoleh dari integran dengan cara memperbesar pangkatnya dengan 1 dan membagi pernyataan yang dihasilkan dengan pangkat gres tersebut. Dengan kata lain , kalau integran berupa fungsi pangkat , maka hasil integralnya mengikuti rumus dasar berikut:

∫ xn dx = 1  xn+1 + c
n + 1

Keterangan :
xn = bilangan atau fungsi pangkat
n = pangkat dari variabel x
c = tetapan integrasi.

Contoh :
Tentukan hasil dari integral tak tentu berikut ini : ∫ x4 dx

Pembahasan :
Sesuai dengan rumus dasar untuk fungsi pangkat di atas , n = 4 , maka:
⇒ ∫ x4 dx = 1/(4+1) . x4+1 + c
⇒ ∫ x4 dx = 1/5 . x5 + c
⇒ ∫ x4 dx = 1/5 x5 + c

#3 Integral Tak Tentu Konstanta Kali Fungsi
Aturan ketiga ini merupakan perpaduan antara hukum pertama dan hukum kedua. Jika fungsi integran (fungsi yang hendak diintegralkan) merupakan hasil kali konstanta dan fungsi , maka hasil integralnya sanggup diputuskan dengan menggunakan rumus dasar berikut ini:

∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx
∫ k xn dx = k 1  xn+1 + c
n + 1

Keterangan :
k = konstanta
n = pangkat dari variabel x.

Contoh :
Tentukan hasil dari integral tak tentu berikut ini : ∫ 4 x3 dx

Pembahasan :
Dari soal dipahami k = 4 dan n = 3 , maka sesuai rumus diperoleh:
⇒ ∫ 4 x3 dx = 4 ∫ x3 dx =
⇒ ∫ 4 x3 dx = 4 . 1/(3+1) . x3+1 + c
⇒ ∫ 4 x3 dx = 4 . 1/4 . x4 + c
⇒ ∫ 4 x3 dx = x4 + c

#4 Integral Tak Tentu Penjumlahan Fungsi
Aturan selanjutnya merupakan untuk integran yang berupa penjumlahan dua fungsi. Misalkan diberikan dua buah fungsi dengan variabel yang serupa yakni f(x) dan g(x) , maka hasil integral dari penjumlahan fungsi tersebut sanggup tertuntaskan dengan mengikuti rumus berikut:

∫ {f(x) + g(x)} dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
∫ {f(x) − g(x)} dx = ∫ f(x) dx − ∫ g(x) dx

Keterangan :
f(x) = fungsi pertama dalam variabel x
g(x) = fungsi kedua dalam variabel x.

Contoh : 
Tentukan hasil dari integral tak tentu berikut : ∫ (4x3 + 2x) dx

Pembahasan :
Jika fungsi di atas diuraikan maka diperoleh f(x) = 4x3 dan g(x) = 2x.
⇒ ∫ {f(x) + g(x)} dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = ∫ 4x3 dx + ∫ 2x dx
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = {4 . 1/(3+1) . x3+1 + c1} + {2 . 1/(2+1) . x1+1 + c2}
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = {4 . 1/4 . x4 + c1} + {2 . 1/2 . x2 + c2}
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = (x4 + c1) + (x2 + c2)
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = x4 + x2 + c1 + c2
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = x4 + x2 + c.

#5 Integral Tak Tentu Kebalikan Variabel
Jika integran merupakan bentuk kebalikan dari variabel fungsi (variabel pangkat negatif 1) , maka hasil integral dari fugsi tersebut sanggup diperoleh berdasaran hukum dasar berikut ini.

∫ x-1 dx = ln |x| + c

Keterangan :
x = variabel fungsi
ln = logaritma natural
| | = nilai mutlak dari variael x.

Demikianlah pembahasan singkat perihal pemahaman dan rumus dasar untuk integral tak tentu. Jik materi berguru ini berharga , bantu kami membagikannya terhadap teman-teman anda lewat tombol share di bawah ini. Terimakasih.

Share ke Facebook >>Share ke Twitter >>
Cafeberita.com merupakan blog ihwal materi belajar. Gunakan Kolom Search atau pencarian untuk menerima materi berguru yang ingin dipelajari.

admin
adminhttps://cafeberita.com
Segera hubungi kami melalui WhatsApp untuk informasi lebih lanjut dan jadilah bagian dari komunitas eksklusif kami. Jadikan impian hunian sempurna Anda menjadi kenyataan sekarang!

Popular Articles