Pembahasan Soal Sbmptn Matematika Persamaan Kuadrat

Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x² – 3x + n = 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat x² + x – n = 0 , maka nilai n merupakan ….

A. 8 D. -8

B. 6 E. -10

C. -2
Pembahasan :
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x² – 3x + n = 0 merupakan p dan q , sedangkan akar-akar persamaan kuadrat x² + x – n = 0 merupakan u dan v.
Sebagai langkah pertama , mari kita cerna kalimat dalam soal tersebut. Jumlah kuadrat akar persamaan kuadrat pertama sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua , dalam bentuk matematika sanggup kita tulis selaku berikut :
⇒ Jumlah kuadrat akar = jumlah pangkat tiga akar
⇒ p² + q² = u³ + v³
Bacaan Lainnya
Selanjutnya , kita mencari nilai masing-masing ruas. Perhatikan tahap pengolahan di bawah ini!

Persamaan kuadrat pertama
x² – 3x + n = 0
Dik : a = 1 , b = -3 , c = n

Jumlah akar :
⇒ p + q = ^-b⁄_a
⇒ p + q = ³⁄₁
⇒ p + q = 3

Hasil kali akar :
⇒ p.q = ^c⁄_a
⇒ p.q = ⁿ⁄₁
⇒ p.q = n

Jumlah kuadrat akar-akarnya :
⇒ p² + q² = (p + q)² – 2p.q
⇒ p² + q² = (3)² – 2(n)
⇒ p² + q² = 9 – 2n …….(1)

Persamaan kuadrat kedua
x² + x – n = 0
Dik : a = 1 , b = 1 , c = -n

Jumlah akar :
⇒ u + v = ^-b⁄_a
⇒ u + v = ^-1⁄₁
⇒ u + v = -1

Hasil kali akar :
⇒ u.v = ^c⁄_a
⇒ u.v = ^-n⁄₁
⇒ u.v = -n

Jumlah pangkat tiga akar-akarnya :
⇒ u³ + v³ = (u + v)³ – 3u.v (u + v)
⇒ u³ + v³ = (-1)³ – 3(-n) (-1)
⇒ u³ + v³ = -1 – 3n …. (2)

Karena persamaan (1) dan (2) bernilai sama , maka berlaku :
⇒ p² + q² = u³ + v³
⇒ 9 – 2n = -1 – 3n
⇒ -2n + 3n = -1 – 9
⇒ n = -10
Jadi , nilai n merupakan -10.

Sebenarnya , langkah pengolahan soal di atas cukup sederhana. Intinya , cari jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat pertama , cari jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua , lalu tetapkan nilai n menurut prinsip persamaan.

Langkah panjang di atas merupakan upaya kami untuk menerangkan pembahasan soal sedetail mungkin mudah-mudahan gampang dipahami. Jika pembagian terencana mengenai rumus jumlah kuadrat dan jumlah pangkat tiga akar-akar masih resah , kau sanggup membaca postingan tentang Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat untuk pembagian terencana mengenai lebih rinci

Jawaban : E

Jika α dan β merupakan akar-akar real persamaan berikut :

x² + x = 2

x² + x + 1
maka nilai α.β merupakan ……
2 atau -1

-2 atau 1

-2 atau -1

-2

-1
Pembahasan :
Kita misalkan x² + x = p , sehingga persamaannya menjadi :

⇒ p = 2

p + 1

⇒ p(p + 1) = 2
⇒ p² + p – 2 = 0
⇒ (p + 2)(p – 1) = 0
⇒ p = -2 atau p = 1
Sekarang kita kembalikan pemisalan tadi.
Untuk p = -2
⇒ x² + x = p
⇒ x² + x = -2
⇒ x² + x + 2 = 0
Untuk mengenali apakah akar-akar persamaan kuadrat tersebut real atau tidak , maka kita cek nilai diskriminannya.
⇒ D = b² – 4ac
⇒ D = 1² – 4(1)(2)
⇒ D = 1 – 8
⇒ D = -7 < 0
Ingat bahwa syarat mudah-mudahan akar-akarnya real , nilai D mesti lebih besar sama dengan nol (D ≥ 0). Untuk teori lebih rinci , kau sanggup baca postingan Sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat. Karena D < 0 , maka akar-akarnya tidak real dengan begitu nilai p = -2 tidak memenuhi.
Untuk p = 1
⇒ x² + x = p
⇒ x² + x = 1
⇒ x² + x – 1 = 0
Dengan cara yang serupa kita tetapkan diskriminannya :
⇒ D = b² – 4ac
⇒ D = 1² – 4(1)(-1)
⇒ D = 1 + 4
⇒ D = 5 > 0
Karena D > 0 , maka akarnya real.
Dengan demikian , persamaan yang menyanggupi merupakan x² + x – 1 = 0. Dari persamaan tersebut , kita temukan hasil kali akar selaku berikut :
⇒ α.β = ^c⁄_a
⇒ α.β = ^-1⁄₁
⇒ α.β = -1
Jawaban : E