Pembahasan Soal Cobaan Nasional Turunan Fungsi

Turunan fungsi , limit fungsi , dan integral merupakan tiga topik matematika yang senantiasa keluar dalam cobaan nasional. Ketiga topik tersebut umumnya berada pada nomor yang berdekatan. Untuk turunan fungsi , versi soal yang sering keluar antaralain menyeleksi turunan pertama (y’) dari sebuah fungsi trigonometri , menyeleksi turunan pertama fungsi aljabar , dan menyeleksi nilai dari turunan pertama sebuah fungsi jikalau variabel bebasnya ditentukan.

Bentuk fungsi yang sering digunakan dalam soal cobaan nasional merupakan bentuk perkalian dan pembagian dua fungsi , rancangan hukum rantai , dan garis singgung kurva. Berikut beberapa soal cobaan nasional tentang turunan fungsi yang pernah keluar.

Soal 1

Turunan pertama dari fungsi di bawah ini merupakan ….

y =	sin x
	sin x + cos x

A. y’ =	cos x
	(sin x + cos x)²

B. y’ =	1
	(sin x + cos x)²

C. y’ =	2
	(sin x + cos x)²

D. y’ =	sin x − cos x
	(sin x + cos x)²

E. y’ =	2 sin x cos x
	(sin x + cos x)²

Pembahasan :
Gunakan rancangan turunan pembagian dua fungsi :

y’ =	dy	=	u'(x).v(x) − u(x).v'(x)
	dx		v²(x)

Misalkan :
u = sin x , maka u’ = cos x
v = sin x + cos x , maka v’ = cos x – sin x.

Dengan rumus di atas diperoleh :

y’ =	u'(x).v(x) − u(x).v'(x)
	v²(x)

y’ =	cos x.(sin x + cos x) − sin x (cos x – sin x)
	(sin x + cos x)²

y’ =	~~sin x cos x~~ + cos² x − ~~sin x cos x~~ + sin² x
	(sin x + cos x)²

y’ =	cos² x + sin² x
	(sin x + cos x)²

y’ =

(sin x + cos x)²
Jawaban : B.

Soal 2
Jika f ‘(x) menyatakan turunan pertama f(x) , maka nilai f(0) + 2 f ‘(0) = …..

f(x) =	x² + 3
	2x + 1

A. -10	C. -7	E. -3
B. -9	D. -5

Pembahasan :

f(0) =

(0)² + 3

2(0) + 1

f(0) =

1
f(0) = 3

Sekarang kita cari turunannya , misalkan :
u = x² + 3 , maka u’ = 2x
v = 2x + 1 , maka v’ = 2.

Dengan rumus di atas diperoleh :

f ‘(x) =	u'(x).v(x) − u(x).v'(x)
	v²(x)

f ‘(x) =	2x.(2x + 1) − (x² + 3)(2)
	(2x + 1)²

f ‘(x) =	4x² + 2x − 2x² − 6
	(2x + 1)²

f ‘(x) =	2x² + 2x − 6
	(2x + 1)²

f ‘(0) =

2(0)² + 2(0) − 6

(2.0 + 1)²
f ‘(0) = -6

Dengan demikian diperoleh :
f(0) + 2 f ‘(0) = 3 + 2(-6) = -9
Jawaban : B.

Soal 3
Jika f(x) = sin² (2x + ^π⁄₆) , maka nilai dari f ‘(0) merupakan ….

A. 2√3	C. √3	E. ½√2
B. 2	D. ½√3

Pembahasan :
Gunakan rumus hukum rantai turunan trigonometri :

f ‘(x) = c.n sin^n-1 g(x). cos g(x).g ‘(x)

Dari soal dik :
c = 1 , n = 2.
g(x) = 2x + ^π⁄₆ , maka g'(x) = 2.

Dengan demikian diperoleh :
f ‘(x) = c.n sin^n-1 g(x). cos g(x).g ‘(x)
f ‘(x) = 1.2 sin^2-1 (2x + ^π⁄₆). cos (2x + ^π⁄₆).(2)
f ‘(x) = 4 sin(2x + ^π⁄₆). cos (2x + ^π⁄₆)
f ‘(0) = 4 sin(2.0 + ^π⁄₆). cos (2.0 + ^π⁄₆)
f ‘(0) = 4 sin(^π⁄₆). cos (^π⁄₆)
f ‘(0) = 4 (½) (½√3)
f ‘(0) = √3.
Jawaban : C.

Soal 4

Turunan pertama dari f(x) = sin⁴ (3x² − 2) merupakan ….

A. 2 sin² (3x² − 2) sin (6x² − 4)
B. 12x sin² (3x² − 2) sin (6x² − 4)
C. 12x sin² (3x² − 2) cos (6x² − 4)
D. 24x sin³ (3x² − 2) cos² (3x² − 2)
E. 24x sin³ (3x² − 2) cos (3x² − 2)

Pembahasan :

Dari soal dikenali :
c = 1 , n = 4
g(x) = 3x² − 2 , g'(x) = 6x.

Dengan demikian diperoleh :
f ‘(x) = c.n sin^n-1 g(x). cos g(x).g ‘(x)
f ‘(x) = 1.4 sin^4-1 (3x² − 2). cos (3x² − 2).(6x)
f ‘(x) = 24x sin³ (3x² − 2). cos (3x² − 2)
Jawaban : E