Ujian Nasional Matematika – Trigonometri
- (UJIAN NASIONAL 2005/2006)
Nilai sin 105o + cos 15o merupakan …
A. ½ (-√6 – √2)
B. ½ (√3 – √2)
C. ½ (√6 – √2)
D. ½ (√3 + √2)
E. ½ (√6 + √2)Pembahasan :
sin 105o + cos 15o = sin (90o + 15o) + cos 15o
sin 105o + cos 15o = cos 15o + cos 15o
sin 105o + cos 15o = 2 cos 15o
sin 105o + cos 15o = 2 cos (45o-30o)
sin 105o + cos 15o = 2 (cos 45o cos 30o + sin 45o sin 30o)
sin 105o + cos 15o = 2 (½√2. ½√3 + ½√2 . ½)
sin 105o + cos 15o = ½√6 + ½√2
sin 105o + cos 15o = ½ (√6 + √2) —> pilihan E - (UJIAN NASIONAL 2005/2006)
Diketahui cos (x-y) = 4/5 dan sin x. sin y = 3/10. Nilai tan x. tan y = …
A. -5/3
B. -4/3
C. -3/5
D. 3/5
E. 5/3Pembahasan :
cos (x-y) = 4/5
cos x cos y + sin x sin y = 4/5
cos x cos y + 3/10 = 4/5
cos x cos y = 4/5 – 3/10
cos x cos y = 1/2tan x . tan y = (sin x/ cos x) . (sin y/ cos y)
tan x . tan y = (sin x. sin y) / (cos x cos y)
tan x . tan y = (3/10) / (1/2)
tan x . tan y = (3/10) (2)
tan x . tan y = 6/10
tan x . tan y = 3/5 —> pilihan D. - (UJIAN NASIONAL 2006/2007)
Nilai dari cos 40o + cos 80o +cos 160o merupakan …
A. -½√2
B. -½
C. 0
D. ½
E. ½√2Pembahasan :
Agar lebih gampang , tentukan masing-masing apalagi dahulu.
cos 40o = cos (30o + 10o)
cos 40o = cos 30o cos 10o – sin 30o sin 10o
cos 40o = ½√3. cos 10o – ½ sin 10ocos 80o = cos (90o – 10o)
cos 80o = cos 90o cos 10o + sin 90o sin 10o
cos 80o = 0. cos 10o + 1 sin 10o
cos 80o = sin 10ocos 160o = cos (150o + 10o)
cos 160o = cos 150o cos 10o – sin 150o sin 10o
cos 160o = – ½√3. cos 10o – ½ sin 10oMaka diperoleh:
cos40o + cos80o + cos160o = ½√3.cos10o – ½sin10o + sin10o + (-½√3.cos10o – ½sin10o)
cos40o + cos80o + cos160o =½√3.cos10o– ½sin10o + sin10o –½√3.cos10o– ½sin10o
cos40o + cos80o + cos160o = sin10o – sin10o
cos40o + cos80o + cos160o = 0 —> pilihan C. - (UJIAN NASIONAL 2006/2007)
Jika sudut α dan β lancip , sin α = 3/5 dan sin β = 7/25 , maka cos (α + β) merupakan …
A. 3/4
B. 5/3
C. 3/5
D. 4/5
E. 5/4Pembahasan :
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin βKarena cos β dan cos α belum dimengerti , maka kita mesti mencarinya apalagi dahulu. Dari identitas trigonometri sin2 x + cos2 y = 1 , diperoleh :
sin2 α + cos2 α = 1
(3/5)2 + cos2 α = 1
cos2 α = 1 – 9/25
cos2 α = 16/25
cos α = 4/5sin2 β + cos2 β = 1
(7/25)2 + cos2 β = 1
cos2 β = 1 – 49/625
cos2 β = 576/25
cos β = 24/25cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α + β) = (4/5. 24/25) – (3/5. 7/25)
cos (α + β) = 96/125 – 21/125
cos (α + β) = 75/125
cos (α + β) = 3/5 —> pilihan C - (UJIAN NASIONAL 2007/2008)
Jika tan α = 1 dan tan β = 1/3 dengan sudut lancip , maka sin (α – β) = …
A. 2/3√5
B. 1/5√5
C. ½
D. 2/5
E. 1/5Pembahasan :
Karena sudut lancip , maka :
tan α = 1 —> sin α = cos α = ½√2
tan β = 1/3 —> sin β = (√10) /10 dan cos β = (3√10) /10sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
sin (α – β) = {½√2 . (3√10) /10} – {½√2 . (√10) /10}
sin (α – β) = {(3√20) /20} – {(√20) /20}
sin (α – β) = (3√20 – √20) /20
sin (α – β) = (2√20) /20
sin (α – β) = {2√(4.5)} /20
sin (α – β) = (4√5) /20
sin (α – β) = (4/20)√5
sin (α – β) = 1/5√5 —> pilihan B - (UJIAN NASIONAL 2008/2009)
Diketahui sin α = 1/5√13 , α lancip. Nilai cos 2α merupakan …
A. -1
B. – ½
C. -1.5
D. -1/25
E. 1Pembahasan :
cos 2α = 1 – 2 sin2 α
cos 2α = 1 – 2 (1/5√13)2
cos 2α = 1 – 2 (13/25)
cos 2α = 1 – 26/25
cos 2α = -1/25 —> pilihan D - (UJIAN NASIONAL 2009/2010)
Nilai dari (sin 27o + sin 63o) / (cos 138o + cos 102o) merupakan …
A. -√2
B. – ½√2
C. 1
D. ½√2
E. √2Pembahasan :
(sin 27o + sin 63o) / (cos 138o + cos 102o)
= {2 sin ½(27o + 63o) . cos ½(27o – 63o)} / {2 sin ½(138o + 102o) . cos ½(138o – 102o)}Karena cos(-α) = cos α maka :
(sin 27o + sin 63o) / (cos 138o + cos 102o)
= {2 sin 45o . cos (- 18o)} / {2 sin 120o . cos 18o}
= {2 (½√2) .cos 18o} / {2 (-½) .cos 18o}
= √2 / -1
= -√2 —> pilihan A. - (UJIAN NASIONAL 2009/2010)
Diketahui tan α – tan β = 1/3 , dan cos α . cos β = 48/65 (α , β lancip). Nilai sin (α – β) merupakan …
A. 63/65
B. 33/65
C. 26/65
D. 16/48
E. 16/65Pembahasan :
tan α – tan β = 1/3
(sin α / cos α) – (sin β / cos β) = 1/3 —> samakan penyebut
(sin α .cos β – cos α .sin β ) / (cos α .cos β) = 1/3
{sin (α – β)} / 48/65 = 1/3
sin (α – β) = 1/3 (48/65)
sin (α – β) = 16/65 —> pilihan E. - (UJIAN NASIONAL 2010/2011)
Nilai dari (cos 140o + cos 100o) / (sin 140o – sin 100o) merupakan …
A. -√3
B. – ½√3
C. ½√3
D. 1/3√3
E. √3Pembahasan :
(cos 140o + cos 100o) / (sin 140o – sin 100o)
= {-2 sin ½(140o + 100o) . sin ½(140o – 100o)} / {2 cos ½(140o + 100o) . sin ½(140o – 100o)}
= {-2 sin ½(140o + 100o) .sin ½(140o – 100o)} / {2 cos ½(140o + 100o) .sin ½(140o – 100o)}
= –2sin 120o /2cos 120o
= – sin 120o / cos 120o
= – tan 120o
= – (-√3)
= √3 —> pilihan E. - (UJIAN NASIONAL 2011/2012)
Nilai dari sin 75o – sin 165o merupakan …
A. -¼√3
B. ¼√3
C. ¼√6
D. ½√2
E. ½√6Pembahasan :
sin 75o – sin 165o = 2 cos ½(75o + 165o) . sin ½(75o – 165o)
sin 75o – sin 165o = 2 cos 120o . sin (- 45o)Karena sin (-a) = – sin a , maka :
sin 75o – sin 165o = 2 cos 120o . sin (- 45o)
sin 75o – sin 165o = 2 cos 120o . (-sin 45o)
sin 75o – sin 165o = – 2 cos 120o . sin 45oUntuk mencari cos 120o sanggup digunakan :cos 120o = cos (180o – 60o) = – cos 60oMaka diperoleh :sin 75o – sin 165o = – 2 cos (180o – 60o) . sin 45osin 75o – sin 165o = – 2 (- cos 60o) . sin 45o
sin 75o – sin 165o = 2 (½) .(½√2)
sin 75o – sin 165o = ½√2 —> opsi
Salah seorang pakar dan konsultan pendidikan yang kini mengabdikan hidup menjadi guru di pedalaman nun jauh di pelosok Indonesia.