Pembahasan Soal Cobaan Nasional Trigonometri

Ujian Nasional Matematika – Trigonometri

1. (UJIAN NASIONAL 2005/2006)
   Nilai sin 105^o + cos 15^o merupakan …
   A. ½ (-√6 – √2)
   B. ½ (√3 – √2)
   C. ½ (√6 – √2)
   D. ½ (√3 + √2)
   E. ½ (√6 + √2)

   Pembahasan :
   sin 105^o + cos 15^o = sin (90^o + 15^o) + cos 15^o
   sin 105^o + cos 15^o = cos 15^o + cos 15^o
   sin 105^o + cos 15^o = 2 cos 15^o
   sin 105^o + cos 15^o = 2 cos (45^o-30^o)
   
   sin 105^o + cos 15^o = 2 (cos 45^o cos 30^o + sin 45^o sin 30^o)
   sin 105^o + cos 15^o = 2 (½√2. ½√3 + ½√2 . ½)
   sin 105^o + cos 15^o = ½√6 + ½√2
   sin 105^o + cos 15^o = ½ (√6 + √2) —> pilihan E

   Bacaan Lainnya

   • Menghitung Percepatan Gravitasi Pada Ketinggian Tertentu
   • Silabus Biologi Untuk Sma Kurikulum 2013
   • Silabus Matematika Untuk Sma Kurikulum 2013

2. (UJIAN NASIONAL 2005/2006)
   Diketahui cos (x-y) = 4/5 dan sin x. sin y = 3/10. Nilai tan x. tan y = …
   A. -5/3
   B. -4/3
   C. -3/5
   D. 3/5
   E. 5/3

   Pembahasan :
   cos (x-y) = 4/5
   cos x cos y + sin x sin y = 4/5
   cos x cos y + 3/10 = 4/5
   cos x cos y = 4/5 – 3/10
   cos x cos y = 1/2

   tan x . tan y = (sin x/ cos x) . (sin y/ cos y)
   tan x . tan y = (sin x. sin y) / (cos x cos y)
   tan x . tan y = (3/10) / (1/2)
   tan x . tan y = (3/10) (2)
   tan x . tan y = 6/10
   tan x . tan y = 3/5 —> pilihan D.

3. (UJIAN NASIONAL 2006/2007)
   Nilai dari cos 40^o + cos 80^o +cos 160^o merupakan …
   A. -½√2
   B. -½
   C. 0
   D. ½
   E. ½√2

   Pembahasan :
   Agar lebih gampang , tentukan masing-masing apalagi dahulu.
   cos 40^o  = cos (30^o + 10^o)
   cos 40^o  = cos 30^o cos 10^o – sin 30^o sin 10^o
   cos 40^o  = ½√3. cos 10^o – ½ sin 10^o

   cos 80^o  = cos (90^o – 10^o)
   cos 80^o  = cos 90^o cos 10^o + sin 90^o sin 10^o
   cos 80^o  = 0. cos 10^o + 1 sin 10^o
   cos 80^o  = sin 10^o

   cos 160^o  = cos (150^o + 10^o)
   cos 160^o  = cos 150^o cos 10^o – sin 150^o sin 10^o
   cos 160^o  = – ½√3. cos 10^o – ½ sin 10^o

   Maka diperoleh:
   cos40^o + cos80^o + cos160^o = ½√3.cos10^o – ½sin10^o + sin10^o + (-½√3.cos10^o – ½sin10^o)
   cos40^o + cos80^o + cos160^o = ½√3.cos10^o – ½sin10^o + sin10^o – ½√3.cos10^o – ½sin10^o
   cos40^o + cos80^o + cos160^o =  sin10^o – sin10^o
   cos40^o + cos80^o + cos160^o = 0 —> pilihan C.

4. (UJIAN NASIONAL 2006/2007)
   Jika sudut α dan β lancip , sin α = 3/5 dan sin β = 7/25 , maka cos (α + β) merupakan …
   A. 3/4
   B. 5/3
   C. 3/5
   D. 4/5
   E. 5/4

   Pembahasan :
   cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

   Karena cos β dan cos α belum dimengerti , maka kita mesti mencarinya apalagi dahulu. Dari identitas trigonometri sin² x + cos² y = 1 , diperoleh :
   sin² α + cos² α = 1
   (3/5)² + cos² α = 1
   cos² α = 1 – 9/25
   cos² α = 16/25
   cos α = 4/5

   sin² β + cos² β = 1
   (7/25)² + cos² β = 1
   cos² β = 1 – 49/625
   cos² β = 576/25
   cos β = 24/25

   cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
   cos (α + β) = (4/5. 24/25) – (3/5. 7/25)
   cos (α + β) = 96/125 – 21/125
   cos (α + β) = 75/125
   cos (α + β) = 3/5 —> pilihan C

5. (UJIAN NASIONAL 2007/2008)
   Jika tan α = 1 dan tan β = 1/3 dengan sudut lancip , maka sin (α – β) = …
   A. 2/3√5
   B. 1/5√5
   C. ½
   D. 2/5
   E. 1/5

   Pembahasan :
   Karena sudut lancip , maka :
   tan α = 1 —> sin α = cos α = ½√2
   tan β = 1/3 —> sin β = (√10) /10 dan cos β = (3√10) /10

   sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
   sin (α – β) = {½√2 . (3√10) /10} – {½√2 . (√10) /10}
   sin (α – β) = {(3√20) /20} – {(√20) /20}
   sin (α – β) = (3√20 – √20) /20
   sin (α – β) = (2√20) /20
   sin (α – β) = {2√(4.5)} /20
   sin (α – β) = (4√5) /20
   sin (α – β) = (4/20)√5
   sin (α – β) = 1/5√5 —> pilihan B

6. (UJIAN NASIONAL 2008/2009)
   Diketahui sin α = 1/5√13 , α lancip. Nilai cos 2α merupakan …
   A. -1
   B. – ½
   C. -1.5
   D. -1/25
   E. 1

   Pembahasan :
   cos 2α = 1 – 2 sin² α
   cos 2α = 1 – 2 (1/5√13)²
   cos 2α = 1 – 2 (13/25)
   cos 2α = 1 – 26/25
   cos 2α = -1/25 —> pilihan D

7. (UJIAN NASIONAL 2009/2010)
   Nilai dari (sin 27^o + sin 63^o) /  (cos 138^o + cos 102^o) merupakan …
   A. -√2
   B. – ½√2
   C. 1
   D. ½√2
   E. √2

   Pembahasan :
   (sin 27^o + sin 63^o) /  (cos 138^o + cos 102^o)
    = {2 sin ½(27^o + 63^o) . cos ½(27^o – 63^o)} / {2 sin ½(138^o + 102^o) . cos ½(138^o – 102^o)}

   Karena cos(-α) = cos α maka :
   (sin 27^o + sin 63^o) /  (cos 138^o + cos 102^o)
    = {2 sin 45^o . cos (- 18^o)} / {2 sin 120^o . cos 18^o}
    = {2 (½√2) . cos 18^o} / {2 (-½) . cos 18^o}
    =  √2 / -1
    = -√2 —> pilihan A.

8. (UJIAN NASIONAL 2009/2010)
   Diketahui tan α – tan β = 1/3 , dan cos α . cos β = 48/65 (α , β lancip). Nilai sin (α – β) merupakan …
   A. 63/65
   B. 33/65
   C. 26/65
   D. 16/48
   E. 16/65

   Pembahasan :
   tan α – tan β = 1/3
   (sin α / cos α) – (sin β / cos β) = 1/3 —> samakan penyebut
   (sin α .cos β – cos α .sin β ) / (cos α .cos β) = 1/3
   {sin (α – β)} / 48/65 = 1/3
   sin (α – β) = 1/3 (48/65)
   sin (α – β) = 16/65 —> pilihan E.

9. (UJIAN NASIONAL 2010/2011)
   Nilai dari (cos 140^o + cos 100^o) /  (sin 140^o – sin 100^o) merupakan …
   A. -√3
   B. – ½√3
   C. ½√3
   D. 1/3√3
   E. √3

   Pembahasan :
   (cos 140^o + cos 100^o) /  (sin 140^o – sin 100^o)
    = {-2 sin ½(140^o + 100^o) . sin ½(140^o – 100^o)} / {2 cos ½(140^o + 100^o) . sin ½(140^o – 100^o)}
    = {-2 sin ½(140^o + 100^o) . sin ½(140^o – 100^o)} / {2 cos ½(140^o + 100^o) . sin ½(140^o – 100^o)}
    = –2 sin 120^o / 2 cos 120^o
    = – sin 120^o / cos 120^o
    = – tan 120^o
    = – (-√3)
    = √3 —> pilihan E.

10. (UJIAN NASIONAL 2011/2012)
    Nilai dari sin 75^o – sin 165^o merupakan …
    A. -¼√3
    B. ¼√3
    C. ¼√6
    D. ½√2
    E. ½√6

    Pembahasan :
    sin 75^o – sin 165^o = 2 cos ½(75^o + 165^o) . sin ½(75^o – 165^o)
    sin 75^o – sin 165^o = 2 cos 120^o . sin (- 45^o)

    Karena sin (-a) = – sin a , maka :
    sin 75^o – sin 165^o = 2 cos 120^o . sin (- 45^o)
    sin 75^o – sin 165^o = 2 cos 120^o . (-sin 45^o)
    sin 75^o – sin 165^o = – 2 cos 120^o . sin 45^o

    Untuk mencari cos 120^o sanggup digunakan :
    cos 120^o =  cos (180^o – 60^o) = – cos 60^o
    Maka diperoleh :
    sin 75^o – sin 165^o = – 2 cos (180^o – 60^o) . sin 45^osin 75^o – sin 165^o = – 2 (- cos 60^o) . sin 45^o
    sin 75^o – sin 165^o = 2 (½) .(½√2)
    sin 75^o – sin 165^o = ½√2 —> opsi