Pembahasan Soal Cobaan Nasional Suku Banyak

1. Menentukan aspek suku banyak kalau salah satu faktornya diketahui
2. Menentukan sisa bagi sebuah suku banyak
3. Menentukan sisa bagi sebuah suku banyak menurut sisa bagi dari suku banyak yang lain
4. Menentukan nilai variabel tertentu dalam suku banyak 
5. Menentukan persamaan suku banyak kalau sisa baginya dimengerti

Kumpulan Soal

1. (Ujian Nasional 2005/2006)
   Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x² – 1) sisanya (12x – 23) dan kalau dibagi oleh (x – 2) , sisanya 1. Sisa pembagian suku banyak oleh (x² – 3x + 2) yakni …
   A. 12x – 23
   B. -12x + 1
   C. -10x + 1
   D. 24x + 1
   E. 24x – 27

   Pembahasan :
   Berdasarkan teorema sisa , sebuah suku banyak sanggup ditulis selaku berikut :

   P(x) = h(x) . g(x) + s(x)

   dengan :
   P(x) = suku banyak
   h(x) = hasil bagi
   g(x) = pembagi
   s(x) = sisa pembagian

   Dengan demikian , maka suku banyak dalam soal sanggup ditulis selaku berikut :
   P(x) = h(x) (x² – 1) +  (12x – 23)
   P(x) = h(x) (x – 2) +  1

   Selanjutnya , masih menurut rancangan teorema sisa jika sebuah suku banyak P(x) dibagi oleh (ax – b) , maka sisanya yakni :

   s(x) = P(-b/a)

   dengan :
   s(x) = sisa bagi
   -b/a diambil dari (ax – b)

   Sebagian buku menggunakan rumus s(x) = P(b/a). Sebenarnya itu sama saja cuma perbedaan cara saja. Sebagai pola , misal pembaginya yakni 2x – 4 , maka sisa nya yakni s(x) = P(-b/a) dengan catatan dari 2x – 4 dimengerti a = 2 dan b = -4 sehingga P(-b/a) = P(4/2) = P(2). Sebaliknya dengan cara lain , s(x) = P(b/a) dengan catatan dari 2x – 4 diproleh x = 4/2 sehingga P(b/a) = P(4/2) =  P(2). Makara bahwasanya sama saja.

   Berdasarkan rancangan tersebut maka diperoleh :
   Dibagi dengan (x² – 1) → -b/a = 1
   P(1) = 12x – 23
   P(1) = 12(1) – 23 = 12 – 23
   P(1) = -11

   Dibagi dengan (x – 2) → -b/a = 2
   P(2) = 1

   Karena ditanya sisa bagi kalau dibagi dengan (x² – 3x + 2) , maka kita sanggup memisalkan sisa baginya dengan (ax + b). Karena x² – 3x + 2 = (x – 2)(x -1) maka sanggup dilihat bahwa untuk (x – 2) → -b/a = 2 dan untuk (x -1) → -b/a = 1. Dengan demikian maka diperoleh :
   Dibagi dengan (x -1)
   P(1) = ax + b
   P(1) = a(1) + b
   P(1) = a + b
   P(1) = -11 → alasannya yakni dari soal dimengerti P(1) = -11
   maka a + b = -11

   Dibagi dengan (x – 2)
   P(2) = ax + b
   P(2) = a(2) + b
   P(2) = 2a + b
   P(2) = 1 → alasannya yakni dari soal dimengerti P(2) = 1
   maka 2a + b = 1

   Selanjutnya kita sanggup menetukan nilai a dan b dengan cara substitusi selaku berikut :
   a + b = -11 → a = -11 – b → substitusi ke persamaan 2a + b = 1
   2a + b = 1
   2 (-11 – b) + b = 1
   -22 – 2b + b = 1
   -b = 23
   b = -23

   Karena b = -23 , maka diperoleh
   a = -11 – b
   a = -11 – (-23)
   a = 12

   Jadi sisa bagi suku banyak tersebut kalau dibagi dengan (x² – 3x + 2) yakni :
   s(x) = ax + b = 12x + (-23) = 12x – 23 —> pilihan A.

2. (Ujian Nasional 2006/2007)
   Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24 , sedangkan kalau dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x – 2)(2x – 3) , maka sisanya yakni …
   A. 8x + 8
   B. 8x – 8
   C. -8x + 8
   D. -8x – 8
   E. -8x + 6

   Pembahasan :
   Berdasarkan teorema sisa , sebuah suku banyak sanggup ditulis selaku berikut :

   f(x) = h(x) . g(x) + s(x)

   dengan :
   f(x) = suku banyak
   h(x) = hasil bagi
   g(x) = pembagi
   s(x) = sisa pembagian

   Dengan demikian , maka suku banyak dalam soal sanggup ditulis selaku berikut :
   f(x) = h(x) (x – 2) +  24
   f(x) = h(x) (2x – 3) +  20

   Selanjutnya , masih menurut rancangan teorema sisa jika sebuah suku banyak P(x) dibagi oleh (ax – b) , maka sisanya yakni :

   s(x) = f(-b/a). 

   dengan :
   s(x) = sisa bagi
   -b/a diambil dari (ax – b)

   Berdasarkan rancangan tersebut maka diperoleh :
   Dibagi dengan (x – 2) → -b/a = 2
   f(2) = 24
   Dibagi dengan (2x – 3) → -b/a =3/2

   f(3/2) = 20

   Karena ditanya sisa bagi kalau dibagi dengan (x – 2)(2x – 3) , maka kita sanggup memisalkan sisa baginya dengan (ax + b). Dengan demikian maka diperoleh :
   Dibagi dengan (x – 2) → -b/a = 2
   f(2) = ax + b
   f(2) = a(2) + b
   f(2) = 2a + b
   f(2) = 24 → alasannya yakni dari soal dimengerti f(2) = 24
   maka 2a + b = 24

   Dibagi dengan (2x – 3) → -b/a =3/2
   f(3/2) = ax + b
   f(3/2) = a(3/2) + b
   f(3/2) = (3/2)a + b
   f(3/2) = 20 → alasannya yakni dari soal dimengerti f(3/2) = 20
   maka (3/2)a + b = 20

   Selanjutnya kita sanggup menetukan nilai a dan b dengan cara substitusi selaku berikut :
   2a + b = 24 → b = 24 – 2a → substitusi ke persamaan (3/2)a + b = 20
   (3/2)a + b = 20

   (3/2)a + ( 24 – 2a) = 20
   (3/2 – 2)a = -4
   -½ a = -4
   a = 8
   Karena a = 8 , maka diperoleh
   b = 24 – 2a
   b = 24 – 2(8)
   b = 24 – 16
   b = 8

   Jadi sisa bagi suku banyak tersebut kalau dibagi dengan (x – 2)(2x – 3) yakni :
   s(x) = ax + b = 8x + 8 —> pilihan A.

3. (Ujian Nasional 2007/2008)
   Salah satu aspek suku banyak P(x) = x⁴ – 15x² – 10x + n yakni (x + 2). Faktor yang lain yakni …
   A. x – 4
   B. x + 4
   C. x + 6
   D. x – 6
   E. x – 8

   Pembahasan :
   Berdasarkan rancangan teorema sisa , aspek suku banyak yakni fungsi yang kalau suku banyak dibagi olehnya sisanya sama dengan nol atau dengan kata lain suku banyak akan habis jika dibagi dengan faktornya. Jika P(x) habis dibagi ax – b , maka berlaku :

   P(-b/a) = 0

   dengan :
   ax – b disebut aspek suku banyak P(x)
   x = -b/a disebut akar dari P(x) = 0

   Karena dibagi dengan (x + 2) → -b/a = -2 , maka diperoleh :
   P(-b/a) = x⁴ – 15x² – 10x + n = 0
   P(-2) = (-2)⁴ – 15(-2)² – 10(-2) + n = 0
   16 – 60 + 20 + n = 0
   n = 24

   Karena n = 24 , maka suku banyaknya menjadi :
   P(x) = x⁴ – 15x² – 10x + 24

   Dengan menggunakan tata cara sintetik kita sanggup mengenali aspek lainnya.
   -2 | 1    0    -15    -10     24
       |      -2      4       22    -24
       ——————————— +
         1   -2    -11     12     0

   Angka yang berwarna merah ialah hasil bagi yang kalau ditulis menjadi suku banyak yakni :
   h(x) = x³ – 2x² – 11x + 12.

   Dari hasil bagitersebut kita sanggup menyeleksi aspek suku banyak yang lain yakni :
   x³ – 2x² – 11x + 12 = (x – 4)(x + 3)(x -1)

   Berdasarkan rancangan teorima sisa diperoleh :
   P(x) = x⁴ – 15x² – 10x + 24 = (x + 2)(x – 4)(x + 3)(x -1)

   Tulisan berwarna biru ialah aspek dari suku banyak tersebut. Makara aspek lain yang ada dalam pilihan yakni (x – 4) —> pilihan A.

4. (Ujian Nasional 2008/2009)
   Suku banyak f(x) dibagi dengan (x – 2) sisa 1 , dibagi dengan (x + 3) sisa -8. Suku banyak g(x) dibagi (x – 2) sisa 9 , dibagi dengan (x + 3) sisa 2. Jika h(x) = f(x).g(x) , maka sisa pembagian h(x) dibagi x² + x – 6 yakni …
   A. 7x – 1
   B. 6x -1
   C. 5x -1
   D. 4x – 1
   E. 3x – 1

   Pembahasan :
   Sesuai dengan rancangan teorema sisa seumpama no 1 dan no 2 , maka :
   f(x) dibagi (x – 2) sisa 1 → f(2) = 1
   f(x) dibagi (x + 3) sisa 8 → f(-3) = -8
   g(x) dibagi (x – 2) sisa 9 → g(2) = 9
   g(x) dibagi (x + 3) sisa 2 → g(-3) = 2

   h(x) = f(x).g(x)
   h(2) = f(2).g(2) = 1(9) = 9
   h(-3) = f(-3).g(-3) = -8(2) = -16

   Misalkan h(x) dibagi dengan  x² + x – 6 bersisa ax + b. Karena x² + x – 6 = (x + 3)(x – 2) , maka diperoleh :
   h(x) dibagi dengan (x + 3) → -b/a = -3
   h(-3) = ax + b
   h(-3) = -3a + b
   h(-3) = -16 —> di atas diperoleh h(-3) = -16
   maka -3a + b = -16

   h(x) dibagi dengan (x – 3) → -b/a = 2
   h(2) = ax + b
   h(2) = 2a + b
   h(2) = 9 —> di atas diperoleh h(2) = 9
   maka 2a + b = 9

   Untuk mengenali nilai a dan b sanggup digunakan cara substitusi ataupun eliminasi.
   2a + b = 9 → b = 9 – 2a → substitusi ke -3a + b = -16
   -3a + b = -16
   -3a + (9 – 2a) = -16
   -5a = -25
   a = 5

   Karena a = 5 maka diperoleh :
   b = 9 – 2a
   b = 9 – 2(5)
   b = -1

   Jadi sisa pembagian h(x) dibagi dengan x² + x – 6 yakni :
   s(x) = ax + b = 5x – 1 —> pilihan C.

5. (Ujian Nasional 2009/2010)
   Diketahui (x – 2) yakni aspek dari suku banyak f(x) = 2x³ + ax² + bx – 2. Jika dibagi dengan (x + 3) sisanya -50. Nilai a + b yakni …
   A. 10
   B. 4
   C. -6
   D. -11
   E. -13

   Pembahasan :
   Karena x – 2 yakni aspek suku banyak , maka suku banyak f(x) = 2x³ + ax² + bx – 2 akan habis dibagi dengan x – 2 atau s(x) = 0.

   Jika dibagi dengan (x – 2) → -b/a = 2 , maka diperoleh :
   P(-b/a) = 2x³ + ax² + bx – 2 = 0
   P(2) = 2(2)³ + a(2)² + b(2) -2  = 0
   16 + 4a + 2b – 2 = 0
   4a + 2b = -14
   2a + b = -7

   Jika dibagi dengan (x + 3) → -b/a = -3 , maka diperoleh :
   P(-b/a) = 2x³ + ax² + bx – 2 = -50
   P(-3) = 2(-3)³ + a(-3)² + b(-3) -2  = -50
   -54 + 9a – 3b – 2 = -50
   9a – 3b = 6
   3a – b = 2

   Untuk memperoleh nilai a dan b maka sanggup digunakan tata cara eliminasi ataupun tata cara substitusi. Di bawah ini digunakan tata cara substitusi :
   2a + b = -7  → b = -7 – 2a → substitusi ke 3a – b = 2
   3a – b = 2
   3a – (-7 – 2a) = 2
   3a + 2a + 7 = 2
   5a = -5
   a = -1

   selanjutnya kita cari nilai b selaku berikut :
   b = -7 – 2a
   b = -7 – 2(-1)
   b = -5

   Jadi nilai a + b = -1 + (-5) = -6  —> pilihan C.

6. (Ujian Nasional 2010/2011)
   Diketahui suku banyak P(x) = 2x⁴ + ax³ – 3x² + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x – 1) sisa 11 , dibagi (x + 1) sisa -1. Maka nilai 2a + b yakni …
   A. 13
   B. 10
   C. 8
   D. 7
   E. 6

   Pembahasan :
   Berdasarkan teorema sisa diperoleh :
   Dibagi dengan (x – 1) → -b/a = 1
   P(1) = 2(1)⁴ + a(1)³ – 3(1)² + 5(1) + b = 11
   2 + a – 3 + 5 + b = 11
   a + b = 11 – 4
   a + b = 7

   Dibagi dengan (x + 1) → -b/a = -1
   P(-1) = 2(-1)⁴ + a(-1)³ – 3(-1)² + 5(-1) + b = -1
   2 – a – 3 – 5 + b = -1
   -a + b = -1 + 6
   -a + b = 5

   Dengan tata cara substitusi diperoleh :
   a + b = 7 → b = 7 – a → substitusi ke -a + b = 5
   -a + b = 5
   -a + (7 – a) = 5
   -2a = 5 – 7
   a = 1

   karena a = 1 , maka b yakni :
   b = 7 – a
   b = 7 – 1 = 6

   Jadi nilai 2a + b = 2(1) + 6 = 8 —> pilihan C.

7. (Ujian Nasional 2010/2011)
   Diketahui (x – 2) dan (x – 1) yakni faktor-faktor suku banyak P(x) = x³ + ax² – 13x + b. Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut yakni x1 , x2 , dan x3 , untuk x1 > x2 > x3 , nilai x1 – x2 – x3 yakni …
   A. 8
   B. 6
   C. 3
   D. 2
   E. 4

   Pembahasan :
   Berdasarkan rancangan teorema sisa , aspek suku banyak yakni fungsi yang kalau suku banyak dibagi olehnya sisanya sama dengan nol atau dengan kata lain suku banyak akan habis jika dibagi dengan faktornya. Jika P(x) habis dibagi ax – b , maka berlaku :

   P(-b/a) = 0

   dengan :
   ax – b disebut aspek suku banyak P(x)
   x = -b/a disebut akar dari P(x) = 0

   Untuk menyelesaikan soal seumpama ini , kita sanggup mencari aspek yang ketiga apalagi dulu dengan cara :
   Jika dibagi dengan (x – 2) → -b/a = 2
   P(2) = 2³ – a(2)² – 13(2) + b = 0
   8 + 4a – 26 + b = 0
   4a + b = 18

   Jika dibagi dengan (x – 1) → -b/a = 1
   P(1) = 1³ + a(1)² – 13(1) + b = 0
   1 + a – 13 + b = 0
   a + b = 12

   Dengan tata cara substitusi diperoleh :
   a + b = 12 → b = 12 – a → substitusi ke 4a + b = 18
   4a + b = 18
   4a + 12 – a = 18
   3a = 6
   a = 2

   karena a = 2 maka b yakni :
   b = 12 – a
   b = 12 – 2 = 10

   Dengan begitu mempunyai arti aspek lain dari suku banyak tersebut yakni ax + b = 2x + 10. Selanjutnya , alasannya yakni 2x + 10 ialah aspek , maka P(x) dibagi dengan 2x + 10 sisanya akan sama dengan nol. Berdasarkan rancangan tersebut , maka dieproleh :
   dibagi (x – 2) sisa = 0 , maka aspek x = 2
   dibagi (x – 1) sisa = 0 , maka aspek x = 1
   dibagi (2x + 10) sisa = 0 , maka aspek x = -10/2 = -5

   Karena x1 > x2 > x3 , maka :
   x1 = 2
   x2 = 1
   x3 = -5

   Jadi nilai x1 – x2 – x3 = 2 – 1 – (-5) = 6 —> pilihan B.

8. (Ujian Nasional 2011/2012)
   Suku bayak berderajat 3 kalau dibagi dengan (x² – x – 6) bersisa (5x – 2) , kalau dibagi dengan (x² – 2x – 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut yakni …
   A. x³ – 2x² + x + 4
   B. x³ – 2x² + x – 4
   C. x³ – 2x² – x – 4
   D. x³ – 2x² + 4
   E. x³ – 2x² – 4

   Pembahasan : 
   Dibagi dengan (x² – x – 6) → dibagi dengan (x – 3)(x + 2)
   P(3) = 5x – 2 = 5(3) – 2 = 13
   P(-2) = 5x – 2 = 5(-2) – 2 = -12

   Dibagi dengan (x² – 2x – 3) → dibagi dengan (x – 3)(x + 1)
   P(3) = 3x + 4 = 3(3) + 4 = 13
   P(-1) = 3x + 4 = 3(-1) + 4 = 1

   Misalkan P(x) = ax³ + bx² + cx + k
   P(3) = 27a + 9b + 3c + k = 13
   P(-2) = -8a + 4b – 2c + k = -12
   P(-1) = -a + b – c + k = 1

   Nilai a. b. c , dan k adapat dicari dengan tata cara eliminasi. Untuk tujuan gampang , dari tiga persamaan P(3) , P(-2) , dan P(-1) , pilih P(-1) alasannya yakni paling sederhana. Selanjutnya uji nilai x = -1 ke persamaan yang ada pada opsi. Persamaan yang karenanya sama dengan 1 yakni jawabannya. Dari kelima pilihan , pilihan D sama dengan 1 kalau nilai x = -1. Makara suku banyak yang dimaksud yakni x³ – 2x² + 4 —> pilihan D.