Pembahasan Soal Cobaan Nasional Proyeksi Vektor

Ujian Nasional Matematika – Vektor. Pada pembahasan kali ini , akan dibahas beberapa soal cobaan nasional bidang study matematika wacana vektor. Biasanya , ada dua soal wacana vektor yang keluar dalam cobaan nasional. Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam cobaan nasional matematika , versi soal vektor yang paling kerap timbul merupakan menyeleksi proyeksi vektor orthogonal , menyeleksi nilai koefisien menurut proyeksi vektor , dan menyeleksi panjang proyesi vektor atau proyeksi skalar orthogonal.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Vektor

Diketahui koordinat A(-4 , 2 , 3) , B(7 , 8 , -1) dan C(1 , 0 ,7). Jika AB mewakili vektor u , AC mewakili vektor v , maka proyeksi vektor u pada v merupakan ….
3i – 6/5j + 12/5k

3√5i – 6/5j + 12/5k

9/5(√5i – 2j + 4k)

17/45(√5i – 2j + 4k)

9/55(√5i – 2j + 4k)
Pembahasan :
Kordinat A , B , dan C sanggup kita tulis dalam bentuk kolom selaku berikut :

A = – -4 – , B = – 7 – dan C = – 1 –

2 8 0

3 -1 7

AB mewakili vektor u , maka :
⇒ u = AB
⇒ u = B – A

⇒ u = – 7 – − – -4 – = – 11 –

8 2 6

-1 3 -4

AC mewakili vektor v , maka :
⇒ v = AC
⇒ v = C – A

⇒ v = – 1 – − – -4 – = – 5 –

0 2 -2

7 3 4

Proyeksi vektor u pada v dirumuskan selaku berikut :

Proyeksi u pada v = u . v . v

|v|²

Berdasarkan rumus di atas , kita sanggup mencari u.v apalagi dahulu.

⇒ u.v = – 11 – . – 5 – = 55 – 12 – 16 = 27

6 -2

-4 4

Selanjutnya kita cari kuadrat dari besar vektor v :
⇒ |v|² = (√5² + (-2)² + 4²)²
⇒ |v|² = (√45)²
⇒ |v|² = 45
Langkah terakhir kita tetapkan proyeksi u pada v selaku berikut :

⇒ Proyeksi u pada v = u . v . v

|v|²

⇒ Proyeksi u pada v = (27/45) – 5 –

-2

4

⇒ Proyeksi u pada v = 3/5 – 5 –

-2

4

⇒ Proyeksi u pada v = – 3 –

-6/5

12/5

Jadi proyeksi vektor u pada v merupakan 3i – 6/5j + 12/5k.

Jawaban : A

Untuk pembahasan lebih lanjut wacana proyeksi vektor , kau sanggup membaca pembahasan teladan soal wacana proyeksi skalar orthogonal dan peroyeksi vektor orthogonal lewat link di bawah ini.
Read more : Contoh Soal dan Pembahasan Proyeksi Vektor.

Diketahui vektor a = [-2 3 4] dan b = [x 0 3]. Jika panjang proyeksi vektor a pada b merupakan 4/5 , maka salah satu nilai x yang menyanggupi merupakan …

A. 6 D. -4

B. 4 E. -6

C. 2

Pembahasan :
Panjang proyeksi vektor a pada b sanggup dirumuskan selaku berikut :

Panjang Proyeksi a pd b = a . b

|b|

Dari soal dikenali panjang proyeksi vektor a pada b merupakan 4/5 , maka :

⇒ 4/5 = a . b

|b|

⇒ 4/5 = [-2 3 4] . [x 0 3]

√(x² + 0² + 3²)

⇒ 4/5 = -2x + 0 + 12

√(x² + 9)

⇒ 5(-2x + 12) = 4(√(x² + 9))
⇒ -10x + 60 = 4√(x² + 9)
⇒ (-10x + 60)² = {4√(x² + 9)}²

⇒ 100x² + 1200x + 3600 = 16(x² + 9)
⇒ 100x² + 1200x + 3600 = 16x² + 144
⇒ 84x² + 1200x + 3456 = 0
⇒ 7x² + 100x + 288 = 0
⇒ (7x – 72)(x – 4) = 0
⇒ x = 72/7 atau x = 4
Jawaban : B

Diketahui segitiga ABC , dengan A(0 , 0 , 0) , B(2 , 2 , 0) dan C(0 , 2 , 2). Proyeksi orthogonal AB pada AC merupakan ….
j + k

i + j

-i + j

i + j – ½k

-½i – j
Pembahasan :
Kordinat A , B , dan C sanggup kita tulis dalam bentuk kolom selaku berikut :

A = – 0 – , B = – 2 – dan C = – 0 –

0 2 2

0 0 2

Vektor AB :
⇒ AB = B – A

⇒ AB = – 2 – − – 0 – = – 2 –

2 0 2

0 0 0

Vektor AC :
⇒ AC = C – A

⇒ AC = – 0 – − – 0 – = – 0 –

2 0 2

2 0 2

Secara lazim proyeksi vektor a ke vektor b sanggup dirumuskan menyerupai gambar di bawah ini. Pada rumus tersebut , c merupakan vektor proyeksi a pada b.

Sesuai dengan rumus di atas , bila kita msialkan proyeksi vektor AB pada AC dengan D , maka proyeksi tersebut sanggup dirumuskan selaku berikut :

D = AB . AC . AC

|AC|²

Berdasarkan rumus di atas , kita sanggup mencari AB.AC apalagi dahulu.

⇒ AB.AC = – 2 – . – 0 – = 0 + 4 + 0 = 4

2 2

0 2

Selanjutnya kita cari kuadrat dari besar vektor AC :
⇒ |AC|² = (√0² + 2² + 2²)²
⇒ |AC|² = (√8)²
⇒ |AC|² = 8
Langkah terakhir kita tetapkan proyeksi AB pada AC selaku berikut :

⇒ D = AB . AC . AC

|AC|²

⇒ D = (4/8) – 0 –

2

2

⇒ D = 1/2 – 0 –

2

2

⇒ D = – 0 –

1

1

Jadi proyeksi vektor AB pada AC merupakan j + k.
Jawaban : A

Simak pembahasan wacana perkalian vektor untuk menyaksikan perbedaan antara perkalian titik dan perkalian silang pada vektor. Pada link di bawah ini , dibahas beberapa teladan wacana perkalian titik dua vektor.
Read more : Contoh Soal dan Pembahasan Perkalian Titik Vektor.

Diketahui vektor a = 3i – 4j – 4k , b = 2i – j + 3k , dan c = 4i – 3j + 5k. Panjang proyeksi vektor (a + b) pada c merupakan ….

A. 3√2 D. 6√2

B. 4√2 E. 7√2

C. 5√2

Pembahasan :
Vektor a , b , dan c sanggup kita tulis dalam bentuk kolom selaku berikut :

a = – 3 – , b = – 2 – dan c = – 4 –

-4 -1 -3

-4 3 5

Vektor (a + b) :
⇒ (a+b) = a + b

⇒ (a+b) = – 3 – + – 2 – = – 5 –

-4 -1 -5

-4 3 -1

Jika kita misalkan proyeksi vektor (a+b) ke c merupakan d , maka panjang proyeksi vektor (a+b) ke c sanggup dirumuskan :

|d| = (a+b) . c

|c|

Sebelumnya kita cari (a+b).c apalagi dahulu.

⇒ (a+b) . c = – 5 – . – 4 – = 20 + 15 – 5 = 30

-5 -3

-1 5

Selanjutnya kita cari besar vektor c :
⇒ |c| = √(4² + -3² + 5²)
⇒ |c| = √50
⇒ |c| = 5√2
Dengan demikian panjang proyeksi vektor (a+b) pada c merupakan :

⇒ |d| = (a+b) . c

|c|

⇒ |d| = 30

5√2

⇒ |d| = 3√2
Jawaban : A

Diberikan vektor a , b , dan c selaku berikut :

a = – 1 – , b = – 2 – dan c = – 0 –

1 2√2 q

√2 p √2

Jika panjang proyeksi vektor b pada a merupakan 1 dan vektor b tegak lurus dengan vektor c , maka nilai p + q merupakan …

A. -2 D. 1

B. -1 E. 2

C. 0

Pembahasan :
Panjang proyeksi vektor b pada a sama dengan 1 , maka :

⇒ 1 = b . a

|a|

⇒ 1 = 2 + 2√2 + p√2

√(1² + 1² + (√2)²)

⇒ 2 = 2 + 2√2 + p√2
⇒ 2 – 2 – 2√2 = p√2
⇒ -2√2 = p√2
⇒ p = -2
Vektor b tegak lurus dengan vektor c , maka :
⇒ b . c = 0

⇒ – 2 – . – 0 – = 0

2√2 q

-2 √2

⇒ 0 + 2q√2 – 2√2 = 0
⇒ 2q√2 = 2√2
⇒ q = 1
Dengan demikian p + q = -2 + 1 = -1.
Jawaban : B