Pembahasan Soal Cobaan Nasional Pertidaksaman

Ujian Nasional Matematika – Pertidaksamaan. Pada pembahasan kali ini , akan dibahas beberapa soal cobaan nasional bidang study matematika ihwal pertidaksamaan. Setidaknya , ada satu atau dua soal ihwal pertidaksamaan yang keluar dalam cobaan nasional. Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam cobaan nasional matematika , versi soal pertidaksamaan yang paling kerap timbul yakni menyeleksi solusi pertidaksamaan eksponen , menyeleksi solusi pertidaksamaan logaritma , menyeleksi solusi pertidaksamaan kuadrat , dan menyelesaikan pertidaksamaan harga mutlak.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Pertidaksamaan

1. Himpunan solusi dari pertidaksamaan x² – 10x + 21 < 0 , x E R yakni …

   {x| x 7 , x E R} {x| x 3 , x E R} {x| -7 < x < 3 , x E R} {x| -3 < x < 7 , x E R} {x| 3 < x < 7 , x E R}

   Pembahasan :
   Berikut langkah-langah untuk mencari solusi sebuah pertidaksamaan kuadrat :

   Bacaan Lainnya

   • Stabilitas Nilai Tukar Mata Uang Dapat Dijaga dengan Mengatur Kelancaran
   • Menghitung Percepatan Gravitasi Pada Ketinggian Tertentu
   • Silabus Biologi Untuk Sma Kurikulum 2013

   1. Asumsikan pertidaksamaannya selaku persamaan kuadrat
   2. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut
   3. Gambarkan garis bilangan untuk nilai x yang diperoleh
   4. Gunakan titik uji untuk menyaksikan solusi pertidaksamaannya

   Berdasarkan tahap di atas , maka pertama kita ambil persamaan kuadratnya kemudian kita tentukan akar-akarnya menggunakan pemfaktoran :
   ⇒ x² – 10x + 21 = 0
   ⇒ (x – 7)(x – 3) = 0
   ⇒ x = 7 atau x = 3

   Selanjutnya gambarkan garis bilangan dengan titik-titik sesuai nilai x yang kita dapatkan kemudian laksanakan pengujian. Sebagai titik uji kita ambil nilai x = 0 , x = 4 , dan x = 8.

   Untuk x = 0
   ⇒ x² – 10x + 21 < 0
   ⇒ 0² – 10(0) + 21 < 0
   ⇒ 21 < 0 (Salah)

   Untuk x = 4
   ⇒ x² – 10x + 21 < 0
   ⇒ 4² – 10(4) + 21 < 0
   ⇒ 16 – 40 + 21 < 0
   ⇒ -3 < 0 (Benar)

   Untuk x = 8
   ⇒ x² – 10x + 21 < 0
   ⇒ 8² – 10(8) + 21 < 0
   ⇒ 64 – 80 + 21 < 0
   ⇒ 5 < 0 (Salah)

   ++++++++	– – – – – – –	+++++++
   3		7

   Berdasarkan pengujian di atas , maka daerah solusi pertidaksamaan tersebut berada di antara 3 dan 7. Dengan demikian , himpunan solusi pertidaksamaannya yakni :
   {x| 3 < x < 7 , x E R}

   Jawaban : E

2. Nilai x yang menyanggupi pertidaksamaan 5^2x – 6.5^x+1 + 125 < 0 , x E R yakni ….

   1 < x < 2 5 < x < 25 x 2 x 2 x 25

   Pembahasan :
   Berikut tindakan menyelesaikan pertidaksamaan eksponen seumpama di atas :

   1. Ubah bentuk eksponen menjadi pangat x sehingga terbentuk persamaan kuadrat
   2. Misalkan bilangan pakat x selaku variabel p untuk mempersempit persamaan kuadrat yang terbentuk
   3. Tentukan akar-akar persamaan kuadratnya
   4. Kembalikan nilai akar (p) ke pemisalan sebelumnya 
   5. Gambarkan garis bilangan sesuai dengan nilai x
   6. Lakukan pengujian untuk mengenali solusi pertidaksamaan

   Langkah apertama kitasumsikan pertidaksamaan selaku persamaan , kemudian kita sederhanakan selaku berikut :
   ⇒ 5^2x – 6.5^x+1 + 125 = 0
   ⇒ (5^x)² – 6.5^x.5¹ + 125 = 0
   ⇒ (5^x)² – 30.5^x + 125 = 0

   Selanjutnya kita misalkan 5^x = p , sehingga :
   ⇒ (5^x)² – 30.5^x. + 125 = 0
   ⇒ p² – 30p + 125 = 0
   ⇒ (p – 25)(p – 5) = 0
   ⇒ p = 25 atau p = 5

   Selanjutnya kembalikan nilai p ke dalam pemisalan sebelumnya.
   Untuk p = 25
   ⇒ 5^x = p
   ⇒ 5^x =25
   ⇒ 5^x = 5²
   ⇒ x = 2

   Untuk p = 5
   ⇒ 5^x = p
   ⇒ 5^x = 5
   ⇒ 5^x = 5¹
   ⇒ x = 1

   Gambarkan nilai x ke garis bilangan kemudian laksanakan pengujian untuk menyelesaikan pertidaksamaan. Untuk mengujinya kita dapat gunaan x = 0 , x = 3/2 , dan x = 3.

   Untuk x = 0
   ⇒ 5^2x – 6.5^x+1 + 125 < 0
   ⇒ 5²⁽⁰⁾ – 6.5⁰⁺¹ + 125 < 0
   ⇒ 5⁰ – 6.5¹ + 125 < 0
   ⇒ 5 – 30 + 125 < 0
   ⇒ 100 < 0 (Salah)

   Untuk x = 3/2
   ⇒ 5^2x – 6.5^x+1 + 125 < 0
   ⇒ 5^2(3/2) – 6.5^3/2+1 + 125 < 0
   ⇒ 5³ – 6.5^5/2 + 125 < 0
   ⇒ 125 – 6.5^5/2 + 125 < 0
   ⇒ -6.5^5/2 < 0 (Benar)

   Untuk x = 3
   ⇒ 5^2x – 6.5^x+1 + 125 < 0
   ⇒ 5²⁽³⁾ – 6.5³⁺¹ + 125 < 0
   ⇒ 5⁶ – 6.5⁴ + 125 < 0
   ⇒ 15625 – 3750 + 125 < 0
   ⇒ 1200 < 0 (Salah)

   ++++++++	– – – – – – –	+++++++
   1		2

   Berdasarkan pengujian di atas , maka himpunan solusi pertidaksamaan tersebut berada antara 1 dan 2 , maka nilai x yang menyanggupi pertidaksamaannya yakni : 1 < x < 2.

   Jawaban :  A

3. Nilai-nilai x dalam interval berikut yang menyanggupi pertidaksamaan :

   4x – x2	≥ 0 yakni ….
   x2 + 2

   -2 ≤ x < -1 -2 ≤ x < 3 0 ≤ x < 4 x ≤ 2 x ≥ 2

   Pembahasan :
   Penyebut dari pertidaksamaan di atas yakni x² + 2 ialah definit konkret artinya senantiasa bernilai konkret untuk setiap nilai x bilangan real.

   Dengan demikian , kita cuma perlu menyaksikan pembilangnya :
   ⇒ 4x – x² ≥ 0
   ⇒ x(4 – x) ≥ 0

   Kita asumsikan selaku persamaan :
   ⇒ x(4 – x) = 0
   ⇒ x = 0 atau x = 4

   Gambarkan ke garis bilangan dan uji. Kita ambil x = -1 , x = 1 , dan x = 5
   Untuk x = -1

   ⇒	4x – x2	≥ 0
   	x2 + 2

   ⇒	4(-1) – (-1)2	≥ 0
   	(-1)2 + 2

   ⇒	-5	≥ 0 (Salah)
   	3

   Untuk x = 1

   ⇒	4x – x2	≥ 0
   	x2 + 2

   ⇒	4(1) – (1)2	≥ 0
   	(1)2 + 2

   ⇒	3	≥ 0
   	3

   ⇒ 1 ≥ 0 (benar)

   Untuk x = 5

   ⇒	4x – x2	≥ 0
   	x2 + 2

   ⇒	4(5) – (5)2	≥ 0
   	(5)2 + 2

   ⇒	-5	≥ 0 (Salah)
   	27

   ———	+++++++	———
   0		4

   Berdasarkan pengujian di atas , maka daerah solusi pertidaksamaan tersebut berada di antara 0 dan 4. Dengan demikian , himpunan solusi pertidaksamaannya yakni : {x| 0 ≤ x ≤ 4}.

   Jawaban : C

4. Himpunan solusi pertidaksamaan -x² + 4x + 5 ≤ 0 yakni ….

   {x| -5 ≤ x ≤ -1} {x| -1 ≤ x ≤ 5} {x| -1 < x < 5} {x| x ≤ -1 atau x ≥ 5} {x| x 5}

   Pembahasan :
   Kita tentukan akar-akar persamaannya :
   ⇒ -x² + 4x + 5 = 0
   ⇒ (-x + 5)(x + 1) = 0
   ⇒ x = 5 atau x = -1

   Gambar garis bilangan dan ujia dengan x = -2 , x = 0 , dan x = 6.
   Untuk x = -2
   ⇒ -x² + 4x + 5 ≤ 0
   ⇒ -(-2)² + 4(-2) + 5 ≤ 0
   ⇒ -4 – 8 + 5 ≤ 0
   ⇒ -7 ≤ 0 (Benar)

   Untuk x = 0
   ⇒ -x² + 4x + 5 ≤ 0
   ⇒ -(0)² + 4(0) + 5 ≤ 0
   ⇒ 0 + 5 ≤ 0
   ⇒ 5 ≤ 0 (Salah)

   Untuk x = 6
   ⇒ -x² + 4x + 5 ≤ 0
   ⇒ -(6)² + 4(6) + 5 ≤ 0
   ⇒ -36 + 24 + 5 ≤ 0
   ⇒ -7 ≤ 0 (Benar)

   ——–	+++++++	———
   -1	0	5

   Dari pengujian di atas , maka solusi pertidaksamaannya yakni : {x| x ≤ -1 atau x ≥ 5}

   Jawaban : D

5. Nilai x yang menyanggupi pertidaksamaan |x – 2|² < 4|x – 2| + 12 yakni …

   x > 8 -4 < x < 8 -8 < x < 4 x 0 x > 4

   Pembahasan :
   Pertidaksamaan di atas ialah pertidaksamaan nilai mutlak. Untuk itu , berikut sifat dasar dari harga mutlak yang mesti kita ketahui :

   

   Pertidaksamaan Nilai mutlak
   ⇒ |x – 2|² < 4|x – 2| + 12
   ⇒ |x – 2|² – 4|x – 2| – 12 < 0

   Asumsikan persamaan :
   ⇒ |x – 2|² – 4|x – 2| – 12 = 0

   Misalkan |x – 2| = a
   ⇒ |x – 2|² – 4|x – 2| – 12 = 0
   ⇒ a² – 4a – 12 = 0
   ⇒ (a – 6)(a + 2) = 0

   Substitusi nilai a =  |x – 2|
   ⇒ (|x – 2| – 6)(|x – 2| + 2) = 0

   Karena |x – 2| + 2 ialah definit konkret yakni senantiasa bernilai konkret untuk semua nilai x real , maka kita mesti meninau bab |x – 2| – 6.
   ⇒ |x – 2| – 6 < 0
   ⇒ (x – 2 + 6)(x – 2 – 6) < 0
   ⇒ (x – 8)(x + 4) < 0
   ⇒ x -4
   Jadi , nilai x yang menyanggupi yakni -4 < x < 8.

   Jawaban : B