Pembahasan Soal Cobaan Nasional Persamaan Kuadrat

(UN 07) Persamaan kuadrat x² − 5x + 6 = 0 mempunyai akar-akar x₁ dan x₂. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x₁ − 3 dan x₂ − 3 yakni …..
A. x² − 2 = 0

B. x² − 2x + 30 = 0

C. x² + x = 0

D. x² + x − 30 = 0

E. x² + x + 30 = 0

Pembahasan :
Pertama-tama tinjau persamaan kuadrat yang dimengerti pada soal.
⇒ x² − 5x + 6 = 0
Diketahui : a = 1 , b = -5 , dan c = 6
Jumlah akar :
Bacaan Lainnya
⇒ x₁ + x₂ = -b

a

⇒ x₁ + x₂ = -(-5)

1

⇒ x₁ + x₂ = 5
Hail kali akar :

⇒ x₁.x₂ = c

a

⇒ x₁.x₂ = 6

1

⇒ x₁.x₂ = 6
Selanjutnya , berdaarkan nilai yang kite peroleh di atas , kita tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru.
Jumlah akar :
⇒ (x₁ − 3) + (x₂ − 3) = x₁ + x₂ − 6
⇒ (x₁ − 3) + (x₂ − 3) = 5 − 6
⇒ (x₁ − 3) + (x₂ − 3) = -1
Hasil kali :
⇒ (x₁ − 3).(x₂ − 3) = x₁.x₂ − 3(x₁ + x₂) + 9
⇒ (x₁ − 3).(x₂ − 3) = 6 − 3(5) + 9
⇒ (x₁ − 3).(x₂ − 3) = 0
Dengan demikian , persamaan kuadrat barunya yakni :
⇒ x² − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (-1)x + (0) = 0
⇒ x² + x = 0
Cara Mudah :
Jika akar-akarnya (x₁ − n) dan (x₂ − n) , maka persamaan kuadrat gres sanggup diputuskan dengan rumus gampang berikut ini :
⇒ a (x + n)² + b(x + n) + c = 0
Sekarang tinjau kembali persamaan kuadrat yang diketahui.
⇒ x² − 5x + 6 = 0
Diketahui : a = 1 , b = -5 , dan c = 6
Dari x₁ − 3 dan x₂ − 3 dimengerti n = 3.
Maka persamaan kuadrat yang gres yakni :
⇒ a (x + n)² + b(x + n) + c = 0
⇒ 1(x + 3)² + (-5)(x + 3) + 6 = 0
⇒ x² + 6x + 9 − 5x − 15 + 6 = 0
⇒ x² + x = 0
Jawaban : C
(UN 09) Akar-akar persamaan 2x² − 6x + 2m − 1 = 0 yakni α dan β. Jika α = 2β , maka nilai m yakni ….

A. 3 D. ²⁄₃

B. ⁵⁄₂ E. ½

C. ³⁄₂

Pembahasan :
⇒ 2x² − 6x + 2m − 1 = 0
Dietahui : a = 2 , b = -6 , c = 2m – 1 , dan α = 2β.
Jumlah akar :

⇒ α + β = -b

a

⇒ α + β = -(-6)

2

⇒ α + β = 3
⇒ 2β + β = 3
⇒ 3β = 3
⇒ β = 1

Hail kali akar :

⇒ α.β = c

a

⇒ 2β.β = 2m − 1

2

⇒ 4β² = 2m − 1
⇒ 4(1)² = 2m − 1
⇒ 2m − 1 = 4
⇒ 2m = 5
⇒ m =⁵⁄₂
Jawaban : B
(UN 09) Jika p dan q akar-akar persamaan x² − 5x − 1 = 0 , maka persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 yakni ….

A. x² + 10x + 11 = 0 D. x² − 12x + 7 = 0

B. x² − 10x + 7 = 0 E. x² − 10x − 11 = 0

C. x² − 10x + 11 = 0

Pembahasan :
⇒ x² − 5x − 1 = 0
Diketahui : a = 1 , b = -5 , dan c = -1
Jumlah akar :

⇒ p + q = -b

a

⇒ p + q = -(-5)

1

⇒ p + q = 5
Hail kali akar :

⇒ p.q = c

a

⇒ p.q = -1

1

⇒ p.q = -1
Selanjutnya , berdaarkan nilai yang kite peroleh di atas , kita tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru.
Jumlah akar :
⇒ (2p + 1) + (2q + 1) = 2p + 2q + 2
⇒ (2p + 1) + (2q + 1) = 2(p + q) + 2
⇒ (2p + 1) + (2q + 1) = 2(5) + 2
⇒ (2p + 1) + (2q + 1) = 12
Hasil kali akar :
⇒ (2p + 1).(2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1
⇒ (2p + 1).(2q + 1) = 4pq + 2(p + q) + 1
⇒ (2p + 1).(2q + 1) = 4(-1) + 2(5) + 1
⇒ (2p + 1).(2q + 1) = 7
Jadi , persamaan kuadrat gres yakni :
⇒ x² − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (12)x + (7) = 0
⇒ x² − 12x + 7 = 0
Jawaban : D
(UN 10) Akar-akar persamaan kuadrat 2x² + mx + 16 = 0 yakni α dan β. Jika α = β dan α ,β aktual , maka nilai m yakni ….

A. -12 D. 8

B. -6 E. 12

C. 6

Pembahasan :
⇒ 2x² + mx + 16 = 0
Dietahui : a = 2 , b = m , c = 16 , dan α = 2b.
Jumlah akar :

⇒ α + β = -b

a

⇒ 2β + β = -(m)

2

⇒ 3β = ^-m⁄₂
⇒ β = ^-m⁄₆

Hail kali akar :

⇒ α.β = c

a

⇒ 2β.β = 16

2

⇒ β² = 4
⇒ β = 2
Substitusi nilai β ke persamaan sebelumnya :
⇒ β = ^-m⁄₆

⇒ 2 = ^-m⁄₆
⇒ m = -12
Jawaban : A
(UN 11) Akar-akar persamaan 3x² − 12x + 2 = 0 yakni x₁ dan x₂. Persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya x₁ + 2 dan x₂ + 2 yakni …..

A. 3x² − 24x + 38 = 0 D. 3x² − 24x + 24 = 0

B. 3x² + 24x + 38 = 0 E. 3x² − 24x − 24 = 0

C. 3x² − 24x − 38 = 0

Pembahasan :
Pertama-tama tinjau persamaan kuadrat yang dimengerti pada soal.
⇒ 3x² − 12x + 2 = 0
Diketahui : a = 3 , b = -12 , dan c = 2
Jumlah akar :

⇒ x₁ + x₂ = -b

a

⇒ x₁ + x₂ = -(-12)

3

⇒ x₁ + x₂ = 4
Hail kali akar :

⇒ x₁.x₂ = c

a

⇒ x₁.x₂ = 2

3

Selanjutnya , berdaarkan nilai yang kite peroleh di atas , kita tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru.
Jumlah akar :
⇒ (x₁ + 2) + (x₂ + 2) = x₁ + x₂ + 4
⇒ (x₁ + 2) + (x₂ + 2) = 4 + 4
⇒ (x₁ + 2) + (x₂ + 2) = 8
Hasil kali :
⇒ (x₁ + 2).(x₂ + 2) = x₁.x₂ + 2(x₁ + x₂) + 4
⇒ (x₁ + 2).(x₂ + 2) = ⅔ + 2(4) + 4
⇒ (x₁ + 2).(x₂ + 2) = ³⁸⁄₃
Dengan demikian , persamaan kuadrat barunya yakni :
⇒ x² − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x² − (8)x + (³⁸⁄₃) = 0
⇒ 3x² − 24x + 38 = 0
Cara Mudah :
Jika akar-akarnya (x₁ + n) dan (x₂ + n) , maka persamaan kuadrat gres sanggup diputuskan dengan rumus gampang berikut ini :
⇒ a (x − n)² + b(x − n) + c = 0

Sekarang tinjau kembali persamaan kuadrat yang diketahui.
⇒ 3x² − 12x + 2 = 0
Diketahui : a = 31 , b = -12 , dan c = 2
Dari x₁ + 2 dan x₂ + 2 dimengerti n = 2.
Maka persamaan kuadrat yang gres yakni :
⇒ a (x − n)² + b(x − n) + c = 0
⇒ 3 (x − 2)² + (-12)(x − 2) + 2 = 0
⇒ 3(x² − 4x + 4) − 12x + 24 + 2 = 0
⇒ 3x² − 12x + 12 − 12x + 24 + 2 = 0
⇒ 3x² − 24x + 38 = 0
Jawaban : A