Pembahasan Soal Cobaan Nasional Lingkaran

Ujian Nasional Matematika – Lingkaran. Pada pembahasan kali ini , akan dibahas beberapa soal cobaan nasional bidang study matematika mengenai lingkaran. Biasanya , ada dua soal mengenai persamaan bundar yang keluar dalam cobaan nasional. Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam cobaan nasional matematika , versi soal bundar yang paling kerap timbul merupakan menyeleksi persamaan garis singgung bundar , menyeleksi persamaan lingaran jikalau dikenali sentra dan titik yang dilaluinya , dan menyeleksi persamaan garis singgung yang melalaui titi potong antara bundar dan garis.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Lingkaran

1. Salah satu persamaan garis singgung pada bundar (x – 2)² + (y + 1)² = 13 di titik yang berabsis -1 merupakan ….

   3x – 2y – 3 = 0 3x – 2y – 5  0 3x + 2x – 9 = 0 3x + 2y + 9 = 0 3x + 2x + 5 = 0

   Pembahasan :
   Pada soal dikenali bahwa garis menyinggung bundar di titik berabsis -1 , itu artinya x = -1.

   Bacaan Lainnya

   • Menghitung Percepatan Gravitasi Pada Ketinggian Tertentu
   • Silabus Biologi Untuk Sma Kurikulum 2013
   • Silabus Matematika Untuk Sma Kurikulum 2013

   Langkah pertama yang sanggup kita jalankan merupakan mensubstitusikan nilai x = -1 ke persamaan lingkarannya untuk menerima nilai y dan koordinat titik singgungnya.
   ⇒ (x − 2)² + (y + 1)² = 13
   ⇒ (-1 − 2)² + (y + 1)² = 13
   ⇒ (-3)² + (y + 1)² − 13 = 0
   ⇒ 9 + y² + 2y + 1 − 13 = 0
   ⇒ y² + 2y − 3 = 0
   ⇒ (y + 3)(y – 1) = 0
   ⇒ y = -3 atau y = 1
   Jadi titik singgungnya merupakan (-1 ,-3) dan (-1 ,1).

   Selanjutnya kita ubah pesamaan lingkaranya ke bentuk biasa x² + y² + 2ax + 2by + c = 0 , selaku berikut :
   ⇒ (x − 2)² + (y + 1)² = 13
   ⇒ x² − 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 13
   ⇒ x² + y² − 4x + 2y − 8 = 0
   Dik : a = ½(-4) = -2 , b = ½(2) = 1 , c = -8

   Persamaan garis singgung bundar untuk x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 sanggup diputuskan dengan rumus :

   x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0

   Karena ada dua titik , maka kita coba keduanya.
   Untuk titik (-1 ,-3) substitusi x1 = -1 dan y1 = -3 :
   ⇒ x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c =
   ⇒ (-1)x + (-3)y + (-2)(-1 + x) + (1)(-3 + y) + (-8) = 0
   ⇒ -x − 3y + 2 − 2x − 3 + y − 8 = 0
   ⇒ -3x − 2y − 9 = 0
   ⇒ 3x + 2y + 9 = 0 

   Untuk titik (-1 ,1) substitusi x1 = -1 dan y1 = 1
   ⇒ x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c =
   ⇒ (-1)x + (1)y + (-2)(-1 + x) + (1)(1 + y) + (-8) = 0
   ⇒ -x + y + 2 − 2x +  1 + y − 8 = 0
   ⇒ -3x + 2y − 5 = 0 

   Dari kedua persamaan di atas , yang ada pada pilihan respon merupakan 3x + 2y + 9 = 0.

   Jawaban : D

2. Persamaan garis singgung malalui titik A(-2 ,-1) pada bundar x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0 merupakan ….

   -2x – y – 5 = 0 x – y + 1 = 0 x + 2y + 4 = 0 3x – 2y + 4 = 0 2x – y + 3 = 0

   Pembahasan :
   Cara I :
   Sebagai langkah pertama , kita ubah persamaan bundar ke bentuk (x – a)² + (y – b)² = r². Untuk menggantinya kita sanggup mempergunakan rancangan menyempurnakan kuadrat.
   ⇒ x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0
   ⇒ (x² + 12x + 36 – 36) + (y² – 6y + 9 – 9) + 13 = 0
   ⇒ (x² + 12x + 36) + (y² – 6y + 9) – 36 – 9 + 13 = 0
   ⇒ (x + 6)² + (y -3)² – 36 – 9 + 13 = 0
   ⇒ (x + 6)² + (y -3)² – 32 = 0
   ⇒ (x + 6)² + (y -3)² = 32

   Selanjutnya kita tetapkan persamaan garis singgungnya. Karena garis lewat titik A(-2 ,-1) , maka substitusikan x1 = -2 , dan y1 = -1 ke persamaan berikut :.
   ⇒ (x + 6)² + (y -3)² = 32
   ⇒ (x + 6)(x1 + 6) + (y -3)(y1 – 3) = 32
   ⇒ (x + 6)(-2 + 6) + (y -3)(-1 – 3) = 32

   ⇒ (x + 6)(4) + (y -3)(-4) = 32
   ⇒ 4x + 24 – 4y + 12 = 32
   ⇒ 4x – 4y + 36 – 32 = 0
   ⇒ 4x – 4y + 4 = 0
   ⇒ x – y + 1 = 0

   Cara II :
   Dari x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0
   Dik : a = ½(12) = 6 , b = ½(-6) = -3 , c = 13

   Persamaan garis singgung bundar untuk x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 sanggup diputuskan dengan rumus :

   x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0

   Karena ada dua titik , maka kita coba keduanya.
   Untuk titik (-2 ,-1) substitusi x1 = -2 dan y1 = -1 :
   ⇒ x1.x  + y1.y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c =
   ⇒ (-2)x + (-1)y + (6)(-2 + x) + (-3)(-1 + y) + 13 = 0
   ⇒ -2x − y − 12 + 6x + 3 − 3y + 13 = 0
   ⇒ 4x − 4y + 4 = 0
   ⇒ x − 2y + 1 = 0 

   Jawaban : B

3. Persamaan bundar yang pusatnya terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0 serta menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif merupakan …

   x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0 x2 + y2 + 4x + 4y + 8 = 0 x2 + y2 + 2x + 2y + 4 = 0 x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 x2 + y2 – 2x – 2y + 4 = 0

   Pembahasan :
   Karena menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif , bermakna lingaran berada di kuadran III.

   

   Jika kita misalkan sentra bundar merupakan (-a , -b) , maka berlaku :
   r = |-a| = a
   r = |-b| = b
   Dengan demikian a = b.

   Dari soal , dikenali bahwa sentra bundar (-a ,-b) terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0 , maka substitusikanlah x = -a dan y = -b ke persamaan tersebut.
   ⇒ 2x – 4y – 4 = 0
   ⇒ 2(-a) – 4(-b) – 4 = 0
   ⇒ -2a + 4b – 4 = 0
   ⇒ -2a + 4b = 4

   Karena a = b , maka :
   ⇒ -2a + 4a = 4
   ⇒ 2a = 4
   ⇒ a = 2

   Karena a = 2 , maka b = 2 dengan demikian kita dapatkan titik sentra (-2 ,-2) dan jari-jari bundar r = |-2| = 2.

   Persamaan bundar yang dikenali sentra (a ,b) dan jari-jari (r) sanggup diputuskan menggunakan rumus berikut :

   (x – a)2 + (y – b)2 = r2

   Berdasarkan rumus tersebut , maka kita dapatkan persamaan bundar :
   ⇒ (x – a)² + (y – b)² = r²
   ⇒ (x – (-2))² + (y – (-2))² = 2²
   ⇒ (x + 2)² + (y + 2)² = 2²
   ⇒ x² + 4x + 4 + y² + 4y + 4 = 4
   ⇒ x² + y² + 4x + 4y + 8 – 4 = 0
   ⇒ x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0

   Jawaban : A

4. Lingaran L = (x + 1)² + (y – 3)² = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung bundar yang lewat titik potong antara bundar dan garis tersebut merupakan …

   x = 2 dan x = -4 x = 2 dan x = -2 x = -2 dan x = 4 x = -2 dan x = -4 x = 8 dan x = -10

   Pembahasan :
   Langkah permulaan kita substitusikan nilai y = 3 ke persamaan bundar untuk mengenali titik potongnya :
   ⇒ (x + 1)² + (y – 3)² = 9
   ⇒ (x + 1)² + (3 – 3)² = 9
   ⇒ (x + 1)² = 9
   ⇒ x + 1 = ±3
   ⇒ x = 3 – 1 = 2 atau x = -3 – 1 = -4
   Jadi titik potongnya (2 ,3) dan (-4 ,3)

   Selanjutnya , untuk mengenali garis singgungnya , kita substitusikan titik yang telah kita dapatkan ke persamaan berikut :

   (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2

   Nilai a , b dan r kita dapatkan dari persamaan lingkarannya.
   Dari  (x + 1)² + (y – 3)² = 9
   Dik a = -1 , b = 3 dan r = 3

   Karena ada dua titik , maka garis singgungnya kita lihat menurut kedua titik tersebut.
   Untuk (2 ,3) , substitusix1 = 2 dan y1 = 3
   ⇒ (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r²
   ⇒ (x + 1)(2 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9
   ⇒ 3x + 3 = 9
   ⇒ 3x = 9 – 3
   ⇒ 3x = 6
   ⇒ x = 2

   Untuk (-4 ,3) , substitusi x1 = -4 dan y1 = 3 :
   ⇒ (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r²
   ⇒ (x + 1)(-4 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9
   ⇒ -3x – 3 = 9
   ⇒ -3x = 9 + 3
   ⇒ -3x = 12
   ⇒ x = -4

   Jadi , Garis singgung bundar yang lewat titik potong antara bundar dan garis tersebut merupakan adalah x = 2 dan x = -4.
   Jawaban : A

5. Persamaan bundar yang lewat titik (5 ,-1) dan berpusat di titik (2 ,3)adalah ….

   x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 x2 + y2 – 4x – 6y – 13 = 0 x2 + y2 – 4x – 6y – 24 = 0 x2 + y2 – 2x – 3y – 10 = 0 x2 + y2 – 4x + 6y + 25 = 0

   Pembahasan :
   Persamaan biasa bundar jikalau dikenali sentra (a ,b) dan jari-jari r merupakan :

   (x – a)2 + (y – b)2 = r2

   Dari soal kita pahami a = 2 , b = 3

   Karena lewat titik (5 ,-1) , maka substitusikan x = 5 dan y = -1 untuk menerima jari-jari bundar :
   ⇒ (x – a)² + (y – b)² = r²
   ⇒ (5 – 2)² + (-1 – 3)² = r²
   ⇒ 9 + 16 = r²
   ⇒ 25 = r²
   ⇒ r = 5

   Karen jari-jari dan sentra telah dikenali , maka persamaan lingkarannya merupakan :
   ⇒ (x – a)² + (y – b)² = r²
   ⇒ (x – 2)² + (y – 3)² = 5²
   ⇒ x² -4x + 4 + y² -6y + 9 = 25
   ⇒ x² + y² -4x -6y + 13 – 25 = 0
   ⇒ x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0

   Jawaban : A