Pembahasan Soal Cobaan Nasional Limit Fungsi

Setiap tahun setidaknya terdapat satu soal wacana limit fungsi pada lembar cobaan nasional untuk bidang studi matematika. Biasanya letak soal limit berdekatan dengan integral dan turunan. Untuk menjalankan soal limit , seharusnya kita mengusut apalagi dulu apakah soal tersebut sanggup dilakukan dengan tata cara substitusi atau tidak.

Jika sanggup , maka kita gunakan saja tata cara substitusi. Jika tidak sanggup , maka kita gunakan tata cara lain yang cocok dengan bentuk soal misalnya tata cara pemfaktoran , dalil L’Hospital , atau tata cara perkalian sekawan. Berikut beberapa soal UN dari bertahun-tahun belakangan.

1. Nilai dari limit di bawah ini merupakan …

   lim x → 2	x3 − 4x
   	x − 2

   A. 32	D. 4
   B. 16	E. 2
   C. 8

   Pembahasan : 
   Jika kita gunakan tata cara substitusi maka kesudahannya merupakan 0/0 , sehingga kita mesti menggunakan tata cara lain. Untuk soal ini kita sanggup gunakan tata cara pemfaktoran selaku berikut :

   lim x → 2	x3 − 4x	=	lim x → 2	x(x + 2)(x − 2)
   	x − 2			(x − 2)

   lim x → 2	x3 − 4x	=	lim x → 2	x(x + 2)
   	x − 2			1

   lim x → 2	x3 − 4x	=	2(2 + 2)
   	x − 2		1

   lim x → 2	x3 − 4x	= 8
   	x − 2

   Jawaban : C.
2. Nilai dari limit di bawah ini merupakan ….

   lim x → 3	x2 − x − 6
   	4 − √5x + 1

   A. -8	C. 6	E. ∞
   B. -6	D. 8

   Pembahasan : 
   Dari bentuk fungsinya telah terlihat bahwa kita sanggup menggunakan tata cara perkalian sekawan. Untuk memudahkan penulisan , maka kita misalkan :

   x2 − x − 6	= f(x)
   4 − √5x + 1

   Dengan tata cara perkalian sekawan diperoleh :

   lim x → 3	f(x) =	lim x → 3	x2 − x − 6	.	4 + √5x + 1
   			4 − √5x + 1		4 + √5x + 1

   lim x → 3	f(x) =	lim x → 3	x2 − x − 64 (4 + √5x + 1)
   			16 − (5x + 1)

   lim x → 3	f(x) =	lim x → 3	(x − 3)(x + 2)(4 + √5x + 1)
   			15 − 5x

   lim x → 3	f(x) =	lim x → 3	(x − 3)(x + 2)(4 + √5x + 1)
   			-5 (x − 3)

   lim x → 3	f(x) =	(3 + 2)(4 + √5.3 + 1)
   		-5

   lim x → 3	f(x) =	5(8)
   		-5

   lim x → 3	f(x) =	40
   		-5

   lim x → 3	f(x) = -8

   Jawaban : A.
   
   
3. Nilai dari limit fungsi di bawah ini merupakan ….

   lim x → 0	1 − cos 2x
   	x tan (½x)

   A. -4	C. 1	E. 4
   B. -2	D. 2

   Pembahasan : 
   Jika kita gunakan tata cara substitusi maka kesudahannya merupakan 0/0 , sehingga kita mesti merubah bentuk fungsi menjadi bentuk lain yang mendekati sifat-sifat limit trigonometri. Untuk memudahkan penulisan kita misalkan :

   1 − cos 2x	= f(x)
   x tan (½x)

   Dengan merubah bentuk fungsinya , maka diperoleh :

   lim x → 0	f(x) =	lim x → 0	1 − (1 − 2 sin2 x)
   			x tan (½x)

   lim x → 0	f(x) =	lim x → 0	2 sin2 x
   			x tan (½x)

   lim x → 0	f(x) =	lim x → 0	2 sin x	.	sin x
   			x		tan (½x)

   lim x → 0	f(x) =	2 (1)	.	1
   		(1)		½

   lim x → 0	f(x) = 2(1)(2) = 4

   Jawaban : E.
4. Nilai dari limit fungsi di bawah ini merupakan ….

   lim x → π⁄4	cos 2x
   	cos x − sin x

   A. 0	C. 1	E. ∞
   B. ½√2	D. √2

   Pembahasan : 
   Jika kita gunakan tata cara substitusi maka kesudahannya merupakan 0/0 , sehingga kita mesti menggunakan tata cara lain. Untuk soal ini kita sanggup gunakan dalil L’Hospital (differensial) selaku berikut :

   lim x → π⁄4	cos 2x	=	lim x → π⁄4	-2 sin 2x
   	cos x − sin x			-sin x − cos x

   lim x → π⁄4	cos 2x	=	-2.sin 2(π⁄4)
   	cos x − sin x		-sin (π⁄4) − cos (π⁄4)

   lim x → π⁄4	cos 2x	=	-2(1)
   	cos x − sin x		-½√2 − ½√2

   lim x → π⁄4	cos 2x	=	-2
   	cos x − sin x		-√2

   lim x → π⁄4	cos 2x	= √2
   	cos x − sin x

   Jawaban : D.
5. Nilai dari limit fungsi di bawah ini merupakan ….

   lim x → 3	x2 − 9
   	√10 + 2x − (x + 1)

   A. -8	C. 4	E. 8
   B. -6	D. 6

   Pembahasan : 
   Dari bentuk fungsinya telah terlihat bahwa kita sanggup menggunakan tata cara perkalian sekawan maupun dalil L’Hospital. Untuk memudahkan penulisan , maka kita misalkan :

   x2 − 9	= f(x)
   √10 + 2x − (x + 1)

   Dengan tata cara perkalian sekawan diperoleh :

   lim x → 3	f(x) =	lim x → 3	x2 − 9	.	√10 + 2x + (x + 1)
   			√10 + 2x − (x + 1)		√10 + 2x + (x + 1)

   lim x → 3	f(x) =	lim x → 3	(x2 − 9) (√10 + 2x + (x + 1))
   			(10 + 2x) − (x2 + 2x + 1)

   lim x → 3	f(x) =	lim x → 3	(x2 − 9) (√10 + 2x + (x + 1))
   			− (x2 − 9)

   lim x → 3	f(x) =	lim x → 3	√10 + 2x + (x + 1)
   			-1

   lim x → 3	f(x) =	√10 + 2.3 + (3 + 1)
   		-1

   lim x → 3	f(x) =	√16 + 4
   		-1

   lim x → 3	f(x) =	8
   		-1

   lim x → 3	f(x) = -8

   Jawaban : A.

Share ke Facebook >>Share ke Twitter >>