Pembahasan Soal Cobaan Nasional Kebijaksanaan Matematika

Model soal logika matematika yang sering keluar dalam cobaan nasional antara lain :

1. Menentukan ingkaran dari sebuah pernyataan
2. Menentukan kesimpulan yang sah dari pernyataan majemuk
3. Menentukan ingkaran dari kesimpulan pernyataan majemuk
4. Menentukan ingkaran pernyatan berkuantor.

1. (UJIAN NASIONAL 2005/2006)
   Dari alasan berikut : Jika ibu tidak pergi , maka adik senang. Jika adik bahagia , maka beliau tersenyum. Kesimpulan yang sah merupakan …
   A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum
   B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum
   C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum
   D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum
   E. Ibu pergi atau adik tersenyum

   Bacaan Lainnya

   • Stabilitas Nilai Tukar Mata Uang Dapat Dijaga dengan Mengatur Kelancaran
   • Menghitung Percepatan Gravitasi Pada Ketinggian Tertentu
   • Silabus Biologi Untuk Sma Kurikulum 2013

   Pembahasan :
   Ingat kembali penarikan kesimpulan tata cara silogisme :
     p → q
     q → r
   ————
   ∴ p → r

   Selanjutnya kita laksanakan pemisalan :
   ibu tidak pergi = p
   adik bahagia = q
   adik tersenyum = r

   Maka kesimpulan yang cocok dengan pernyataan merupakan kalau ibu tidak pergi , maka adik tersenyum. Akan namun , alasannya kesimpulan tersebut tidak ada pada pilihan respon , maka kita mesti menyeleksi pernyataan yang ekuivalen atau sama dengan kesimpulan p → r. 

   Ingat kembali hukum kesetaraan :

     p → r ≡ p ∨ r

   p → r : kalau ibu tidak pergi , maka adik tersenyum
   p ∨ r : ibu pergi atau adik tersenyum —> pilihan E

2. (UJIAN NASIONAL 2006/2007)
   Diketahui pernyataan :
   1. Jika hari panas , maka Ani memakai topi
   2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung
   3. Ani tidak memakai payung
   Kesimpulan yang sah merupakan …
   A. Hari panas
   B. Hari tidak panas
   C. Ani memakai topi
   D. Hari panas dan Ani memakai topi
   E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi.

   Pembahasan :
   Ingat kembali hukum kesetaraan :

     q ∨ r ≡ q → r

   Misal :
   Hari panas = p
   Ani memakai topi = q
   Ani memakai payung = r

   Maka pernyataan di atas sanggup ditulis menjadi :
   1. p → q
   2. q ∨ r
   3. r

   Karena q ∨ r ≡ q → r , maka dari pernyataan 1 dan 2 diperoleh :
   p → q
   q → r
   ————
   ∴ p → r

   Selanjutnya , dari kesimpulan pertama dan pernyataan 3 diperoleh :
   p → r
        r  
   ————
   ∴  p
   Jadi kesimpulan yang sah merupakan hari tidak panas. —> pilihan B.

   Ingat kembali penarikan kesimpulan dengan modus Tollens :
     p → r
          r
   ————
   ∴ p

3. (UJIAN NASIONAL 2007/2008)
   Ingkaran dari pernyataan “beberapa bilangan prima merupakan bilangan genap” merupakan …
   A. Semua bilangan prima merupakan bilangan genap
   B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap
   C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap
   D. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima
   E. Beberapa bilangan genap merupakan bilangan prima

   Pembahasan :
   Ingat kembali ingkaran pernyataan berkuantor :
   semua A merupakan B = beberapa A bukan/tidak B
   beberapa A merupakan B = semua A bukan/tidak B
   tidak ada A yang B = beberapa A merupakan B

   Berdasarkan hukum di atas , maka ingkaran yang cocok untuk pernyataan “beberapa bilangan prima merupakan bilangan genap” merupakan Semua bilangan prima bukan bilangan genap. —> pilihan B.
   
   
   

4. (UJIAN NASIONAL 2007/2008)
   Diketahui permis-premis :
   1. Jika Badu tekun berguru dan patuh , maka Ayah membelikan bola basket.
   2. Ayah tidak membelikan bola basket
   Kesimpulan yang sah merupakan …
   A. Badu tekun berguru dan patuh.
   B. Badu tidak tekun berguru dan Badu tidak patuh.
   C. Badu tidak tekun berguru atau Badu tidak patuh.
   D. Badu tidak tekun berguru dan Badu patuh.
   E. Badu tekun berguru atau Badu tidak patuh.

   Pembahasan :
   Misal :
   Badu tekun = a
   Badu patuh = b
   Badu tekun berguru dan patuh = p = (a∧b)
   Ayah membelikan bola basket = q

   p → q
        q
   ————
   ∴  p 

   p  = (a ∧ b) = a ∨ b
   Maka kesimpulan yang sah merupakan Badu tidak tekun berguru atau Badu tidak patuh.
   (opsi C)
   
   
   

5. (UJIAN NASIONAL 2008/2009)
   Perhatikan premis-premis berikut :
   1. Jika saya ulet berguru , maka saya sanggup menjangkau juara
   2. Jika saya sanggup menjangkau juara , maka saya boleh ikut bertanding.
   Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas merupakan …
   A. Saya ulet berguru dan saya dihentikan ikut tanding
   B. Saya ulet berguru atau saya dihentikan ikut tanding
   C. Saya ulet berguru maka saya sanggup menjangkau juara
   D. Saya ulet berguru dan saya boleh ikut bertanding
   E. Saya ikut bertarung maka saya ulet belajar.

   Pembahasan :
   misal :
   saya ulet berguru = p
   saya sanggup menjangkau juara = q
   saya boleh ikut bertarung = r

   Kesimpulan yang sah merupakan :
     p → q
     q → r
   ————
   ∴ p → r —> kalau saya ulet berguru maka saya boleh ikut tanding.

   Ingkaran dari kesimpulan :
   (p → r) = p ∧ r
   Saya ulet berguru dan saya dihentikan ikut tanding. (opsi A)

6. (UJIAN NASIONAL 2009/2010)
   Perhatikan premis-premis berikut :
   1. Jika Adi murid tekun , maka ia murid pandai
   2. Jika ia murid bakir , maka ia lulus ujian
   Ingkaran dari kesimpulan di atas merupakan …
   A. Jika Adi murid tekun , maka ia tidak lulus ujian
   B. Adi murid tekun dan ia tidak lulus ujian
   C. Adi bukan murid tekun atau beliau lulus ujian
   D. Jika Adi bukan murid tekun , maka beliau tidak lulus ujian
   E. Jika Adi murid tekun , maka ia lulus ujian.

   Pembahasan :
   misal :
   Adi murid tekun = p
   Adi murid bakir = q
   Adi lulus cobaan = r

   Kesimpulan pernyataan di atas menurut silogisme merupakan :
   p → q
   q → r
   ————
   ∴ p → r —> Jika Adi murid tekun , maka ia lulus ujian.

   Ingkaran dari kesimpulan :
   (p → r) = p ∧ r
   Adi murid tekun dan ia tidak lulus ujian. —> pilihan B.
   
   
   
7. (UJIAN NASIONAL 2010/2011)
   Diketahui premis-premis :
   1. Jika hari hujan , maka ibu memakai payung
   2. Ibu tidak memakai payung
   Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis di atas merupakan …
   A. Hari tidak hujan
   B. Hari hujan
   C. Ibu memakai payung
   D. Hari hujan dan ibu memakai payung
   E. Hari tidak hujan dan ibu memakai payung

   Pembahasan :
   misal :
   Hari hujan = p
   Ibu memakai payung = q
   Ibu tidak memakai payung = q

   Kesimpulan pernyataan di atas menurut modus Tollens merupakan :
   p → q
         q
   ————
   ∴ p  —> hari tidak hujan —> pilihan A.

8. (UJIAN NASIONAL 2011/2012)
   Diketahui premis-premis :
   1. Jika hari ini hujan deras , maka Bona tidak akan keluar rumah
   2. Bona keluar rumah
   Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut merupakan …
   A. Hari ini hujan deras
   B. Hari ini hujan tidak deras
   C. Hari ini hujan tidak deras atau Bona tidak keluar rumah
   D. Hari ini tidak hujan deras dan Bona keluar rumah
   E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar rumah

   Pembahasan :
   misal :
   Hari ini hujan deras = p
   Bona tidak akan keluar rumah = q
   Bona keluar rumah = q

   Kesimpulan pernyataan di atas menurut modus Tollens merupakan :
   p → q
         q
   ————
   ∴ p  —> hari ini hujan tidak deras —> pilihan B.

9. (UJIAN NASIONAL 2012/2013)
   Diketahui premis-premis :
   1. Jika Budi ulang tahun maka semua temannya datang
   2. Jika semua temannya tiba maka ia mendapat kado
   3. Budi tidak mendapat kado
   Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut merupakan …
   A. Budi ulang tahun
   B. Semua temannya datang
   C. Budi tidak ulang tahun
   D. Semua teman dekat tidak datang
   E. Budi mendapat kado

   Pembahasan :
   misal :
   Budi ulang tahun = p
   Semua teman dekat tiba = q
   Budi mendapat kado = r
   Budi tidak mendapat kado = r

   Kesimpulan dari premis 1 dan 2 menurut silogisme merupakan :
   p → q
   q → r
   ————
   ∴ p → r —> kalau Budi ulang tahun , maka ia mendapat kado.

   Kesimpulan dari silogisme dan premis 3 menurut modus Tollens merupakan :
   p → r
         r
   ————
   ∴ p  —> Budi tidak ulang tahun —> pilihan C.

10. (UJIAN NASIONAL 2012/2013)
    Pernyataan “Jika Bagus mendapat kado , maka beliau senang” setara dengan …
    A. Jika Bagus tidak bahagia , maka beliau tidak mendapat hadiah
    B. Bagus mendapat kado namun beliau tidak senang
    C. Bagus mendapat kado dan beliau senang
    D. Bagus tidak mendapat kado atau beliau tidak senang
    E. Bagus tidak bahagia dan beliau tidak mendapat hadiah

    Pembahasan :
    misal :
    Bagus mendapat kado = p
    Dia bahagia = q
    p → q

    Berdasarkan hukum kesetaraan :
    (p → q) ≡ q → p ≡ p ∨q

    Maka pernyataan yang setara merupakan :
    1. Jika Bagus tidak bahagia maka beliau tidak mendapat hadiah
    2. Bagus tidak mendapat kado atau beliau senang
    
    Jadi respon yang sempurna merupakan pilihan A.