Pembahasan Soal Cobaan Nasional Fungsi Kuadrat

Ujian Nasional Matematika – Fungsi Kuadrat. Pada pembahasan kali ini , akan dibahas beberapa soal cobaan nasional bidang study matematika tentang fungsi kuadrat. Biasanya , ada satu soal tentang fungsi kuadrat yang keluar dalam cobaan nasional. Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam cobaan nasional matematika , versi soal fungsi kuadrat yang paling kerap timbul merupakan menyeleksi nilai koefisien yang menyanggupi karakteristik fungsi kuadrat , menyeleksi fungsi kuadrat apabila dipahami titik balik dan titik yang dilaluinya , dan menyeleksi fungsi kuadrat menurut grafik.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Fungsi Kuadrat

1. Grafik fungsi kuadrat f(x) = x² + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang menyanggupi merupakan ….

   A. -4

   B. -3

   C. 0

   D. 3

   E. 4

   Pembahasan :
   Karena fungsi kuadrat f(x) = x² + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4 , maka berlaku :
   ⇒ f(x) = y
   ⇒ x² + bx + 4 = 3x + 4
   ⇒ x² + bx – 3x + 4 – 4 = 0
   ⇒ x² + (b – 3)x = 0
   Dik : a = 1 , b = b – 3 , c = 0

   Bacaan Lainnya

   • Menghitung Percepatan Gravitasi Pada Ketinggian Tertentu
   • Silabus Biologi Untuk Sma Kurikulum 2013
   • Silabus Matematika Untuk Sma Kurikulum 2013

   Selanjutnya , kembali kita ingat relasi antara kurva fungsi kuadrat dengan garis menurut nilai diskriminannya selaku berikut :

   1. Jika D > 0 , saling memotong di dua titik
   2. Jika D = 0 , bersinggungan
   3. Jika D < 0 , tidak berpotongan dan tidak menyinggung

   Sesuai dengan karater di atas , maka untuk kurva dan garis yang saling bersentuhan , berlaku :
   ⇒ D = 0
   ⇒ b² – 4ac = 0
   ⇒ (b – 3)² – 4(1)(0) = 0
   ⇒ (b – 3)² = 0
   ⇒ b = 3
   Jadi , nilai b yang menyanggupi merupakan 3.

   Jawaban : D

2. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memiliki titik balik minimum (1 ,2) dan lewat titik (2 ,3) merupakan ….
   1. y = x² – 2x + 1
   2. y = x² – 2x + 3
   3. y = x² + 2x – 1
   4. y = x² + 2x + 1
   5. y = x² – 2x – 3

   Pembahasan :
   Sebelum kita menyelesaikan soal di atas , ada baiknya kita ingat kembali sifat grafik fungsi kuadrat menurut nilai a nya :

   1. Jika a > 0
      1. Kurva terbuka ke atas
      2. Titik balik minimum

   2. Jika a < 0
      1. Kurva terbuka ke bawah
      2. Titik balik maksimum

   Pada soal dipahami titik balik minimum , berbarti nilai a nya lebih besar dari nol atau posifit. Pada soal kebetulan semua nilai a nya positif.

   Untuk menyeleksi fungsi kuadrat , kita sanggup menggunakan beberapa rumus berikut tergantung pada apa yang dipahami :

   1. Kurva memotong sumbu x di dua titik dan dipahami suatu titik lain

      y = a(x − x1)(x − x2)

   2. Diketahui tiitk balik (p ,q) dan suatu titik lain

      y = a(x − p)2 + q

   3. Diketahui tiga titik sebarang

      y = ax2 + bx + c

   Karena pada soal dipahami titik balik dan suatu titik yang lain , maka kita sanggup menggunakan rumus yang kedua.

   Dari soal dipahami titik balik (1 ,2) , maka p = 1 , q = 2 :
   ⇒ y = a(x − p)² + q
   ⇒ y = a(x − 1)² + 2

   Melalui titik (2 ,3) , maka substitusi x = 2 , y = 3 :
   ⇒ y = a(x − 1)² + 2
   ⇒ 3 = a(2 − 1)² + 2
   ⇒ 3 = a(1)² + 2
   ⇒ 3 = a + 2
   ⇒ a = 3 – 2
   ⇒ a = 1

   Selanjutnya kita sumbstitusikan nilai a ke persamaan permulaan :
   ⇒ y = a(x − 1)² + 2
   ⇒ y = 1(x − 1)² + 2
   ⇒ y = x² − 2x + 1 +  2
   ⇒ y = x² − 2x + 3

   Jawaban : B

3. Gambar tersebut merupakan grafik fungsi kuadrat ….
   

   1. y = x² + 2x + 3 
   2. y = x² − 2x − 3  
   3. y = x² + 2x − 3 
   4. y = -x² − 2x + 3  
   5. y = -x² + 2x + 3

   Pembahasan :
   Dari gambar sanggup kita lihat bahwa kurva grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke bawah dan memiliki titik balik maksimum , itu artinya nilai a pada fungsi kuadrat itu bernilai negatif.

   Dengan demikian , pilihan respon yang tepat menurut huruf tersebut merupakan pilihan D dan E , sedangkan A , B , dan C telah niscaya salah sebab a nya positif.

   Dari gambar terang terlihat bahwa kurva memotong sumbu x di dua titikk dan lewat satu titik lainnya. Selain itu , kurva juga dipahami titik baliknya.

   

   Dengan demikian , ada dua cara yang sanggup kita gunakan yakni menurut titik potong kepada x dan menurut tiitk puncaknya.

   Cara I :
   Sesuai dengan teori yang telah dibahas pada soal nomor 2 , fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di dua titik dan lewat satu titik yang lain sanggup diputuskan dengan rumus berikut :

   y = a(x − x1)(x − x2)

   Kurva memotong sumbu x di titik (-1 ,0) dan (3 ,0) :
   ⇒ y = a(x − x₁)(x − x₂)
   ⇒ y = a(x − (-1))(x − 3)
   ⇒ y = a(x + 1)(x − 3)

   Selanjutnya kurva lewat titik (0 ,3) substitusi nilai x = 0 , y = 3:
   ⇒ y = a(x + 1)(x − 3)
   ⇒ 3 = a(0 + 1)(0 − 3)
   ⇒ 3 = -3a
   ⇒ a = -1

   Substitusi nilai a ke persamaan permulaan :
   ⇒ y = a(x + 1)(x − 3)
   ⇒ y = (-1)(x² – 2x – 3)
   ⇒ y = -x² + 2x + 3

   Cara II :
   Fungsi kuadrat yang memiliki titik balik (p ,q) dan lewat titik yang lain sanggup diputuskan dengan rumus berikut :

   y = a(x − p)2 + q

   Titik balik (1 ,4) maka p = 1 , q = 4 :

   ⇒ y = a(x − p)² + q
   ⇒ y = a(x − 1)² + 4

   Melalui titik (0 ,3) substitusi nilai x = 0 , y = 3 :
   ⇒ y = a(x − 1)² + 4
   ⇒ 3 = a(0 − 1)² + 4
   ⇒ 3 = a + 4
   ⇒ a = -1

   Substitusi nilai a = -1 ke persamaan permulaan :
   ⇒ y = a(x − 1)² + 4
   ⇒ y = -1(x − 1)² + 4
   ⇒ y = -1(x² – 2x + 1) + 4
   ⇒ y = -x² + 2x – 1 + 4
   ⇒ y = -x² + 2x + 3

   Jawaban : E

4. Jika grafik fungsi f(x) = x² + px + 5 menyinggung garis 2x + y = 1 dan p > 0 , maka nilai p yang menyanggupi merupakan …

   A. -6	D. 4
   B. -4	E. 6
   C. -2

   Pembahasan :
   Sebelumnya , kita ubah dahulu bentuk persamaan garisnya :
   ⇒ 2x + y = 1
   ⇒ y = 1 – 2x

   Karena fungsi f(x) = x² + px + 5 menyinggung garis 2x + y = 1 , maka berlaku :
   ⇒ f(x) = y
   ⇒ x² + px + 5 = 1 – 2x
   ⇒ x² + px + 2x + 5 – 1 = 0
   ⇒ x² + (p + 2)x + 4 = 0
   Dik a = 1 , b = p + 2 , dan c = 4

   Seperti teori yang diuraikan pada soal 1 , syarat bersentuhan merupakan :
   ⇒ D = 0
   ⇒ b² – 4ac = 0
   ⇒ (p + 2)² – 4(1)(4) = 0
   ⇒ p² + 4p + 4 – 16 = 0
   ⇒ p² + 4p – 12 = 0
   ⇒ (p + 6)(p – 2) = 0
   ⇒ p = -6 atau p = 2

   Karena pada soal syaratnya p > 0 , maka nilai p yang menyanggupi merupakan p = 2.

   Jawaban : D