Pembahasan Soal Cobaan Nasional Dimensi Tiga

Ujian Nasional Matematika – Dimensi Tiga. Pada pembahasan kali ini , akan dibahas beberapa soal cobaan nasional bidang study matematika wacana dimensi tiga atau bangkit ruang. Biasanya , ada dua soal wacana bangkit ruang yang keluar dalam cobaan nasional.

Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam cobaan nasional matematika , versi soal dimensi tiga yang paling kerap timbul merupakan menyeleksi jarak antara titik ke bidang pada kubus , menyeleksi jarak titik ke garis , menyeleksi jarak antar bidang dalam suatu bangkit ruang , dan menyeleksi besar sudut terbuat oleh dua garis atau bidang.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC merupakan …
8√3 cm

8√2 cm

4√6 cm

4√3 cm

4√2 cm
Pembahasan :
Untuk menolong menyelesaikan soal di atas , ada baiknya jika kita menggambar suatu kubus selaku acuan. Berikut ilustrasi untuk kubus ABCD.EFGH :
Dari gambar di bawah , sanggup dilihat bahwa jarak titik H dan garis AC kita misalkan HO. Selanjutnya amati segitga DOH (daerah yang diwarnai pada gambar).

Segitiga DOH merupakan segitigu siku-siku dengan siku berada di titik D. Panjang garis DH diketahui 8 cm , sedangkan panjang garis DO merupakan setengah dari panjang garis DB.
Ingat bahwa pada kubus , pajang diagonal bidang dan diagonal sisinya merupakan :

Diagonal ruang = panjang rusuk√3

Diagonal sisi = panjang rusuk√2

Karena DB merupakan diagonal bidang , maka panjang garis DO merupakan :
⇒ DO = ½DB
⇒ DO = ½ (8√2)
⇒ DO = 4√2 cm
Nah , kini dari segitiga DOH telah diketahui dua sisinya , dengan demikian panjang garis HO sanggup kita cari dengan mempergunakan dalil phytagoras selaku berikut :
⇒ HO = √DH² + DO²
⇒ HO = √8² + (4√2)²
⇒ HO = √64 + 32
⇒ HO = √96
⇒ HO = √16 x 6
⇒ HO = 4√6 cm
Jadi , jarak titik H ke garis AC merupakan 4√6 cm.
Jawaban : C

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang bantalan ABCD merupakan α , maka sin α merupakan …
½√3

½√2

⅓√3

½

⅓√2
Pembahasan :
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini!

AG merupakan diagonal ruang. Bidang bantalan ABCD sanggup diwakili dengan diagonal sisi AC. Sudut antara AG dan AC merupakan α seumpama terlihat pada gambar di atas.
Selanjutnya amati segitiga AGC. Jika kita lihat , segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan siku di titik c. Panjang CG sama dengan panjang rusuk yakni 6 cm.
Karena AG merupakan diagonal ruang dan AC merupakan diagonal sisi , maka panjang masing-masing diagonal tersebut merupakan :
⇒ AG = panjang rusuk√3 = 6√3 cm
⇒ AC = panjang rusuk√2 = 2√2 cm
Dengan menggunakan rancangan trigonometri , maka berlaku :

⇒ sin α = sisi depan

sisi miring

⇒ sin α = CG

AG

⇒ sin α = 6

6√3

⇒ sin α = ⅓√3
Jawaban : C

Perhatikan gambar kubus di bawah ini!
Jarak bidang ACH dan EGB merupakan …
4√3 cm

2√3 cm

4 cm

6 cm

12 cm
Pembahasan :
Berikut digambarkan bidang ACH dan EGB. Pada gambar , jarak antara ACH dan EGB sanggup diwakilkan oleh garis PQ.

Dari gambar di atas , coba amati bidang BOHP. Bidang BOHP merupakan jajargenjang dengan bantalan HO dan tinggi PQ. Makara , kita sanggup menyeleksi jarak antara ACH dan EGB dengan mencari tahu tinggi PQ.
Untuk mengenali tinggi PQ , maka kita mesti tahu dahulu luas jajargenjang dan panjang alasnya yakni panjang HO.
Untuk mengetahu panjang HO , amati segitiga HDO. Dari segitiga HDO diketahui DH = 6√3 cm. Panjang DO merupakan setengah dari panjang DB :
⇒ DO = ½DB
⇒ DO = ½ (6√3.√2)
⇒ DO = ½ (6√6)
⇒ DO = 3√6 cm
Dengan demikian panjang HO merupakan :
⇒ HO = √DH² + DO²
⇒ HO = √(6√3)² + (3√6)²
⇒ HO = √108 + 54
⇒ HO = √162
⇒ HO = √81 x 2
⇒ HO = 9√2 cm
Selanjutnya amati bidang BDHF. Bidang BDHF berisikan segitiga ODH , segitiga BFP dan jajargenjang BOHP. Dengan demikian berlaku :
⇒ Luas BOHP = Luas BDHF – luas ODH – luas BFP
Karena luas segitiga ODH sama dengan luas segitiga BFP , maka :
⇒ Luas BOHP = Luas BDHF – 2 luas ODH
⇒ Luas BOHP = (DB x DH) – 2(½ DO x DH)
⇒ Luas BOHP = (DB x DH) – (DO x DH)
⇒ Luas BOHP = DH (DB – DO)
⇒ Luas BOHP = 6√3(6√6 – 3√6)
⇒ Luas BOHP = 6√3(3√6)
⇒ Luas BOHP = 18√18
⇒ Luas BOHP = 54√2 cm
Nah , kini kita telah sanggup menjumlah tinggi jajargenjangnya , yakni :
⇒ Luas BOHP = 54√2
⇒ bantalan x tinggi = 54√2
⇒ HO x PQ = 54√2
⇒ 9√2 PQ = 54√2
⇒ PQ = 6 cm
Jadi , jarak antara bidang ACH dan EGB merupakan 6 cm.
Jawaban : D

Diketahui suatu kubus ABCD.EFGH. Besar sudut terbuat oleh garis BG dengan bidang BDHF merupakan ….
90^o

60^o

45^o

30^o

15^o
Pembahasan :
Perhatikan gambar di bawah ini!

Pada gambar di atas , titik P merupakan proyeksi titik G pada bidang BDHF dan garis PB merupakan proyeksi garis GB pada bidang BDHF.
Dengan demikian , sudut antara BG dan BDHF akan sama dengan sudut antara GB dan PB. Dalam gambar sudut tersebut dimisalkan θ.
Selanjutnya amati segitiga GPB. Segitiga GPB merupakan segitiga siku-siku dengan siku di titik P. Sesuai dengan rancangan trigonometri , maka berlaku :

⇒ sin θ = sisi depan

sisi miring

⇒ sin θ = GP

GB

⇒ sin θ = ½ diagonal sisi GE

panjang rusuk√2

⇒ sin θ = ½ (~~panjang rusuk √2~~)

~~panjang rusuk√2~~

⇒ sin θ = ½
⇒ θ = 30^o
Jawaban : D

Balok ABDC.EFGH dengan panjang AB = BC = 3cm dan AE = 5 cm. P terletak pada AD sehingga AP : PD = 1 : 2 dan Q pada FG sehingga FQ : QG = 2 : 1. Jika α merupakan sudut antar PQ dan ABCD , maka tan α merupakan …
½√5

1/10 √5

½√10

1/7 √14

1/7 √35
Pembahasan :
Perhatikan gambar di bawah ini !

Dari segitiga POT. Dari segitiga POT diperoleh panjang PT selaku berikut :
⇒ PT = √PO² + OT²
⇒ PT = √3² + 1²
⇒ PT = √9 + 1
⇒ PT = √10 cm
Perhatikan segitiga PTQ. Dengan rancangan trigonometri :

⇒ tan α = sisi depan

sisi samping

⇒ tan α = QT

PT

⇒ tan α = 5

√10

⇒ tan α = ½√10.
Jawaban : C