Pembahasan Soal Cobaan Nasional Dimensi Tiga

Ujian Nasion­al Matem­ati­ka — Dimen­si Tiga. Pada pem­ba­hasan kali ini , akan diba­has beber­a­pa soal cobaan nasion­al bidang study matem­ati­ka wacana dimen­si tiga atau bangk­it ruang. Biasanya , ada dua soal wacana bangk­it ruang yang kelu­ar dalam cobaan nasion­al.

Dari beber­a­pa soal yang per­nah kelu­ar dalam cobaan nasion­al matem­ati­ka , ver­si soal dimen­si tiga yang pal­ing ker­ap tim­bul meru­pakan menyelek­si jarak antara titik ke bidang pada kubus , menyelek­si jarak titik ke garis , menyelek­si jarak antar bidang dalam suatu bangk­it ruang , dan menyelek­si besar sudut ter­bu­at oleh dua garis atau bidang.

Bacaan Lain­nya

Kumpulan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

  1. Dike­tahui kubus ABCD.EFGH den­gan pan­jang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC meru­pakan …
    1. 8√3 cm
    2. 8√2 cm
    3. 4√6 cm
    4. 4√3 cm
    5. 4√2 cm
    Pem­ba­hasan :
    Untuk meno­long menye­le­saikan soal di atas , ada baiknya jika kita menggam­bar suatu kubus selaku acuan. Berikut ilus­trasi untuk kubus ABCD.EFGH :

    Dari gam­bar di bawah , sang­gup dil­i­hat bah­wa jarak titik H dan garis AC kita mis­alkan HO. Selan­jut­nya amati segit­ga DOH (daer­ah yang diwar­nai pada gam­bar).

    Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

    Segit­i­ga DOH meru­pakan segi­t­igu siku-siku den­gan siku bera­da di titik D. Pan­jang garis DH dike­tahui 8 cm , sedan­gkan pan­jang garis DO meru­pakan seten­gah dari pan­jang garis DB.

    Ingat bah­wa pada kubus , pajang diag­o­nal bidang dan diag­o­nal sisinya meru­pakan :

    Diag­o­nal ruang = pan­jang rusuk√3
    Diag­o­nal sisi = pan­jang rusuk√2

    Kare­na DB meru­pakan diag­o­nal bidang , maka pan­jang garis DO meru­pakan :
    ⇒ DO = ½DB
    ⇒ DO = ½ (8√2)
    ⇒ DO = 4√2 cm

    Nah , kini dari segit­i­ga DOH telah dike­tahui dua sisinya , den­gan demikian pan­jang garis HO sang­gup kita cari den­gan mem­per­gu­nakan dalil phy­tago­ras selaku berikut :
    ⇒ HO = √DH2 + DO2
    ⇒ HO = √82 + (4√2)2
    ⇒ HO = √64 + 32
    ⇒ HO = √96
    ⇒ HO = √16 x 6
    ⇒ HO = 4√6 cm
    Jadi , jarak titik H ke garis AC meru­pakan 4√6 cm.

    Jawa­ban : C
  1. Dike­tahui kubus ABCD.EFGH den­gan pan­jang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diag­o­nal AG den­gan bidang ban­ta­lan ABCD meru­pakan α , maka sin α meru­pakan …
    1. ½√3
    2. ½√2
    3. ⅓√3
    4. ½
    5. ⅓√2
    Pem­ba­hasan :
    Per­hatikan gam­bar kubus ABCD.EFGH di bawah ini!
    Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

    AG meru­pakan diag­o­nal ruang. Bidang ban­ta­lan ABCD sang­gup diwak­ili den­gan diag­o­nal sisi AC. Sudut antara AG dan AC meru­pakan α seumpa­ma ter­li­hat pada gam­bar di atas.

    Selan­jut­nya amati segit­i­ga AGC. Jika kita lihat , segit­i­ga terse­but meru­pakan segit­i­ga siku-siku den­gan siku di titik c. Pan­jang CG sama den­gan pan­jang rusuk yakni 6 cm.

    Kare­na AG meru­pakan diag­o­nal ruang dan AC meru­pakan diag­o­nal sisi , maka pan­jang mas­ing-mas­ing diag­o­nal terse­but meru­pakan :
    ⇒ AG = pan­jang rusuk√3 = 6√3 cm
    ⇒ AC = pan­jang rusuk√2 = 2√2 cm

    Den­gan meng­gu­nakan ran­can­gan trigonometri , maka berlaku :

    ⇒ sin α = sisi depan
    sisi mir­ing
    ⇒ sin α = CG
    AG
    ⇒ sin α = 6
    6√3

    ⇒ sin α = ⅓√3

    Jawa­ban : C
  1. Per­hatikan gam­bar kubus di bawah ini!
    Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga
    Jarak bidang ACH dan EGB meru­pakan …
    1. 4√3 cm
    2. 2√3 cm
    3. 4 cm
    4. 6 cm
    5. 12 cm
    Pem­ba­hasan :
    Berikut digam­barkan bidang ACH dan EGB. Pada gam­bar , jarak antara ACH dan EGB sang­gup diwak­ilkan oleh garis PQ.
    Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

    Dari gam­bar di atas , coba amati bidang BOHP. Bidang BOHP meru­pakan jajar­gen­jang den­gan ban­ta­lan HO dan ting­gi PQ. Makara , kita sang­gup menyelek­si jarak antara ACH dan EGB den­gan men­cari tahu ting­gi PQ.

    Untuk men­ge­nali ting­gi PQ , maka kita mesti tahu dahu­lu luas jajar­gen­jang dan pan­jang alas­nya yakni pan­jang HO.

    Untuk menge­tahu pan­jang HO , amati segit­i­ga HDO. Dari segit­i­ga HDO dike­tahui DH = 6√3 cm. Pan­jang DO meru­pakan seten­gah dari pan­jang DB :
    ⇒ DO = ½DB
    ⇒ DO = ½ (6√3.√2)
    ⇒ DO = ½ (6√6)
    ⇒ DO = 3√6 cm

    Den­gan demikian pan­jang HO meru­pakan :
    ⇒ HO = √DH2 + DO2
    ⇒ HO = √(6√3)2 + (3√6)2
    ⇒ HO = √108 + 54
    ⇒ HO = √162
    ⇒ HO = √81 x 2
    ⇒ HO = 9√2 cm

    Selan­jut­nya amati bidang BDHF. Bidang BDHF berisikan segit­i­ga ODH , segit­i­ga BFP dan jajar­gen­jang BOHP. Den­gan demikian berlaku : 
    ⇒ Luas BOHP = Luas BDHF — luas ODH — luas BFP

    Kare­na luas segit­i­ga ODH sama den­gan luas segit­i­ga BFP , maka :
    ⇒ Luas BOHP = Luas BDHF — 2 luas ODH
    ⇒ Luas BOHP = (DB x DH) — 2(½ DO x DH)
    ⇒ Luas BOHP = (DB x DH) — (DO x DH)
    ⇒ Luas BOHP = DH (DB — DO)
    ⇒ Luas BOHP = 6√3(6√6 — 3√6)
    ⇒ Luas BOHP = 6√3(3√6)
    ⇒ Luas BOHP = 18√18
    ⇒ Luas BOHP = 54√2 cm

    Nah , kini kita telah sang­gup men­jum­lah ting­gi jajar­gen­jangnya , yakni :
    ⇒ Luas BOHP = 54√2
    ⇒ ban­ta­lan x ting­gi = 54√2
    ⇒ HO x PQ = 54√2
    ⇒ 9√2 PQ = 54√2
    ⇒ PQ = 6 cm
    Jadi , jarak antara bidang ACH dan EGB meru­pakan 6 cm.

    Jawa­ban : D
  1. Dike­tahui suatu kubus ABCD.EFGH. Besar sudut ter­bu­at oleh garis BG den­gan bidang BDHF meru­pakan .…
    1. 90o
    2. 60o
    3. 45o
    4. 30o
    5. 15o
    Pem­ba­hasan :
    Per­hatikan gam­bar di bawah ini!
    Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

    Pada gam­bar di atas , titik P meru­pakan proyek­si titik G pada bidang BDHF dan garis PB  meru­pakan proyek­si garis GB pada bidang BDHF.

    Den­gan demikian , sudut antara BG dan BDHF akan sama den­gan sudut antara GB dan PB. Dalam gam­bar sudut terse­but dimisalkan θ.

    Selan­jut­nya amati segit­i­ga GPB. Segit­i­ga GPB meru­pakan segit­i­ga siku-siku den­gan siku di titik P. Sesuai den­gan ran­can­gan trigonometri , maka berlaku :

    ⇒ sin θ = sisi depan
    sisi mir­ing
    ⇒ sin θ = GP
    GB
    ⇒ sin θ = ½ diag­o­nal sisi GE
    pan­jang rusuk√2
    ⇒ sin θ = ½ (pan­jang rusuk √2)
    pan­jang rusuk√2

    ⇒ sin θ = ½
    ⇒ θ = 30o

    Jawa­ban : D
  1. Balok ABDC.EFGH den­gan pan­jang AB = BC = 3cm dan AE = 5 cm. P ter­letak pada AD sehing­ga AP : PD = 1 : 2 dan Q pada FG sehing­ga FQ : QG = 2 : 1. Jika α meru­pakan sudut antar PQ dan ABCD , maka tan α meru­pakan …
    1. ½√5
    2. 1/10 √5
    3. ½√10
    4. 1/7 √14
    5. 1/7 √35
    Pem­ba­hasan :
    Per­hatikan gam­bar di bawah ini !
    Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

    Dari segit­i­ga POT. Dari segit­i­ga POT diper­oleh pan­jang PT selaku berikut :
    ⇒ PT = √PO2 + OT2
    ⇒ PT = √32 + 12
    ⇒ PT = √9 + 1
    ⇒ PT = √10 cm

    Per­hatikan segit­i­ga PTQ. Den­gan ran­can­gan trigonometri :

    ⇒ tan α = sisi depan
    sisi samp­ing
    ⇒ tan α = QT
    PT
    ⇒ tan α = 5
    10

    ⇒ tan α = ½√10.

    Jawa­ban : C
Share ke Face­book »Share ke Twit­ter »
Cafeberita.com meru­pakan blog wacana materi bela­jar. Gunakan Kolom Search atau pen­car­i­an untuk men­da­p­atkan materi bergu­ru yang ingin dipela­jari.

Pos terkait