Pembahasan Sbmptn Matematika Pertidaksamaan Trigonometri

Jika 0 ≤ x ≤ π , maka himpunan solusi pertidaksamaan cos x – sin 2x < 0 merupakan ….

{x| ^π⁄₆ < x < ^π⁄₂}
{x| ^π⁄₄ < x < ^π⁄₃}
{x| ^π⁄₆ < x < ^π⁄₂}∪{x| ^5π⁄₆ < x ≤ π}
{x| ^π⁄₆ < x < ^π⁄₃}∪{x| ^5π⁄₆ < x ≤ π}
{x| ^π⁄₆ < x < ^π⁄₂}∪{x| ^5π⁄₆ < x ≤ π}

Pembahasan :
Untuk menjawab soal di atas , maka kita perlu mengingat kembali rumus dasar atau identitas trigonometri berikut ini :

sin 2x = 2 sin x. cos x

Berdasarkan rumus di atas , maka bentuk pertidaksamaan di soal sanggup disederhanakan menjadi :
⇒ cos x – sin 2x < 0
⇒ cos x – (2 sin x. cos x) < 0
⇒ cos x (1 – 2 sin x) < 0

Sekarang kita lihat dahulu solusi untuk persamaan cos x (1 – 2 sin x) = 0 untuk mendapat x yang menciptakan nilai nol. Setelah kita temukan x pembuat nol , maka kita sanggup menilik tanda pertidaksamaannya.

Persamaan cos x (1 – 2 sin x) = 0 sanggup bernilai nol jikalau salah satu aspek pengalinya bernilai nol. Makara persamaan itu akan bernilai nol jikalau cos x = 0 atau (1 – 2 sin x) = 0.

Untuk cos x = 0
⇒ cos x = 0
⇒ x = 90^oatau x = 270^o
Karena 0 ≤ x ≤ π , maka 270^o tidak menyanggupi , sehingga :
⇒ x = 90^o
⇒ x = ^π⁄₂

Untuk (1 – 2 sin x) = 0
⇒ 1 – 2 sin x = 0
⇒ 2 sin x = 1
⇒ sin x = ½
⇒ x = 90^oatau x = 150^o
Karena 0 ≤ x ≤ π , maka kedua nilai tersebut menyanggupi , sehingga :
⇒ x = 90^oatau x = 150^o
⇒ x = ^π⁄₆ atau x = ^5π⁄₆

Untuk pertidaksamaannya , kita sanggup menggunakan garis bilangan dan nilai uji. Karena nilai x pembuat nol merupakan ^π⁄₂ , ^π⁄₆ , dan ^5π⁄₆ , maka kita sanggup gunakan nilai uji x = 0 , x = ^π⁄₃ , x = ^2π⁄₃ , dan x = π.

Nilai uji	Substitusi	Hasil
x = 0	cos 0 (1 – 2 sin 0) = 1	> 0
x = ^π⁄₃	cos ^π⁄₃ (1 – 2 sin ^π⁄₃) = -0 ,36	< 0
x = ^2π⁄₃	cos ^2π⁄₃ (1 – 2 sin ^2π⁄₃) = 0 ,36	> 0
x = π	cos π (1 – 2 sin π) = 0	= 0

Karena pertidaksamaannya merupakan kurang dari (perhatikan cos x (1 – 2 sin x) < 0) , maka nilai uji yang menyanggupi merupakan yang menciptakan nilai kurang dari nol. Berdasarkan tabel di atas , maka HP-nya berada di antara ^π⁄₆ dan ^π⁄₂ atau ^5π⁄₆ dan π. Secara matematis sanggup ditulis selaku :
⇒ HP = {x| ^π⁄₆ < x < ^π⁄₂}∪{x| ^5π⁄₆ < x ≤ π}

Jawaban : E

Untuk 0 ≤ x ≤ 12 , maka nilai x yang menyanggupi pertidaksamaan cos ^πx⁄₆ ≥ ½ merupakan ….
0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 9

0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 12

2 ≤ x ≤ 4 atau 8 ≤ x ≤ 10

1 ≤ x ≤ 3 atau 9 ≤ x ≤ 11

0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12
Pembahasan :
Dik : 0 ≤ x ≤ 12
Kita tetapkan dahulu nilai x pembuat nol.
⇒ cos ^πx⁄₆ = ½
⇒ cos ^πx⁄₆ = cos ^π⁄₃
⇒ ^πx⁄₆ = ^π⁄₃
⇒ ^π⁄₆ x = ^2π⁄₆
⇒ x = 2
Nilai x yang lain :
⇒ cos ^πx⁄₆ = ½
⇒ cos ^πx⁄₆ = cos ^10π⁄₆
⇒ ^πx⁄₆ = ^10π⁄₆
⇒ ^π⁄₆ x = ^10π⁄₆
⇒ x = 10
Untuk menyeleksi HP pertidaksamaannya , kita gunakan nilai uji x = 0 , x = 4 , dan x = 12 dan substitusi ke cos ^πx⁄₆.

Nilai uji Substitusi Hasil

x = 0 cos 0 = 1 > 0

x = 4 cos ^4π⁄₆ = -0 ,5 < 0

x = 12 cos ^12π⁄₆ = 1 > 0

Karena pertidaksamaannya lebih dari sama dengan (perhatikan cos ^πx⁄₆ ≥ ½) , maka nilai uji yang menyanggupi merupakan yang kesudahannya lebih besar dari nol. Dengan demikian :
⇒ HP = {x| 0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12}
Jawaban : E