Pembahasan Sbmptn Matematika Fungsi Komposisi Dan Invers

untuk setiap bilangan real x ≠ 0. Jika g : R → R yaitu sebuah fungsi sehingga (g o f)(x) = g(f(x)) = 2x + 1 , maka fungsi invers g^-1(x) sama dengan ….

Pembahasan :
Diketahui : (g o f)(x) = g(f(x)) = 2x + 1
Kita misalkan h = g o f

Invers dari fungsi h :
⇒ h^-1 = f^-1 o g^-1
⇒ f o h^-1 = f o f^-1 o g^-1
⇒ f o h^-1 = g^-1

Karena kita misalkan h = g o f , maka :
⇒ h(x) = g(f(x))
⇒ h(x) = 2x + 1
⇒ 2x = h(x) – 1

Invers dari fungsi g 
⇒ g^-1(x) = f(h^-1(x))

Substitusi nilai h^-1(x) ke dalam fungsi f(x) sehingga :

Jika fungsi komposisi tersebut kita turunkan kepada x , maka :

Untuk menurunkan perkalian dua fungsi misal h(x) = u(x).v(x) , maka kita gunakan rumus berikut :

Dengan :
h'(x) = turunan fungsi h(x)
u'(x) = turunan fungsi u(x)
v'(x) = turunan fungsi v(x)

Berdasarkan rumus di atas , maka kita peroleh :

⇒ f'(x).g(x) + f(x).g'(x) = 2x – 3

Untuk x = 1
⇒ f ‘(1).g(1) + f(1).g'(1) = 2(1) – 3
⇒ f ‘(1).(2) + f(1).g'(1) = -1

Karena f(1) = g'(1) dan f ‘(1) = f(1) , maka :
⇒ f ‘(1).(2) + f(1).g'(1) = -1
⇒ f(1).(2) + f(1).f(1) = -1
⇒ 2 f(1) + {f(1)}² = -1
⇒ {f(1)}² + 2f(1) + 1 = 0

Perhatikan bahwa bentuk di atas ialah bentuk persamaan kuadrat.
⇒ {f(1)}² + 2f(1) + 1 = 0
⇒ {f(1) + 1}² = 0
⇒ f(1) = -1

Karena nilai g'(1) = f(1) , maka :
⇒ g'(1) = f(1)
⇒ g'(1) = -1