Pembahasan Sbmptn Matematika Barisan Aritmatika

Rp 12.800.000 ,- Rp 13.000.000 ,- Rp 13.200.000 ,- Rp 13.400.000 ,- Rp 13.600.000 ,-

Pembahasan :
Karena besar SPP yang dibayar setiap semester bertambah sebesar 200.000 ,- dari SPP semester sebelumnya , maka ongkos yang dikeluarkan akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 200.000.

Rumus barder aritmatika yang kita gunakan :

Un = a + (n – 1)b

Sn = n⁄2 (a + Un)

Dengan :
⇒ Un = suku ke-n barisan
⇒ Sn = jumlah n suku pertama
⇒ n = banyak suku
⇒ a = suku awal
⇒ b = beda barisan

Dari soal kisah di atas , dikenali :
⇒ b = 200.000
⇒ U₈ = 2.400.000
⇒ n = 8

Karena untuk menyeleksi jumlah SPP selama 8 semester mesti dikenali suku mulanya (a) , maka kita mesti menyeleksi nilai SPP semester pertamanya.

Dari rumus suku ke-8 kita dapatkan :
⇒ Un = a + (n – 1)b
⇒ U₈ = a + (8 – 1)b
⇒ 2.400.000 = a + (7)200.000
⇒ 2.400.000 = a + 1.400.000
⇒ a = 2.400.000 – 1.400.000
⇒ a = 1.000.000

Dengan demikian total SPP selama 8 semester yakni :
⇒ Sn = ⁿ⁄₂ (a + Un)
⇒ S₈ = ⁸⁄₂ (a + U₈ )
⇒ S₈ = 4 (1.000.000 + 2.400.000)
⇒ S₈ = 4 (3.400.000)

⇒ S₈ = 13.600.000
Jadi , total SPP yakni Rp 13.600.000 ,-

A. 37	D. 63
B. 46	E. 72
C. 51

Pembahasan :
Untuk menyelesaikan soal di atas , kita mesti mengerti rancangan turunan pertama f ‘(x) dan turunan kedua f ”(x) dan rancangan barisan aritmatika.

Menentukan nilai f(2) :
⇒ f(x) = x³ + 3x² + a
⇒ f(2) = 2³ + 3(2)² + a
⇒ f(2) = 8 + 12 + a
⇒ f(2) = 20 + a

Menentukan nilai f ‘(2) :

⇒ f ‘(x) =	d f(x)
	dx

⇒ f ‘(x) =	d (x3 + 3x2 + a)
	dx

⇒ f ‘(x) = 3x² + 6x
⇒ f ‘(2) = 3(2)² + 6(2)
⇒ f ‘(2) = 12 + 12
⇒ f ‘(2) = 24

Menentukan nilai f ”(2) :

⇒ f ”(x) =	d f ‘(x)
	dx

⇒ f ”(x) =	d (3x2 + 6x)
	dx

⇒ f ”(x) = 6x + 6
⇒ f ”(2) = 6(2) + 6
⇒ f ”(2) = 18
Barisan = f ”(2) , f ‘(2) , f(2) = 18 , 24 , 20 + a.

Karena f ”(2) , f ‘(2) , dan f(2) membentuk barisan aritmatika , maka :
⇒ f ‘(2) – f ”(2) = f(2) – f ‘(2)
⇒ 24 – 18 = 20 + a – 24
⇒ 6 = -4 + a
⇒ a = 10

Dengan demikian jumlah ketiganya yakni :
⇒ f ”(2) + f ‘(2) + f(2) = 18 + 24 + (20 + a)
⇒ f ”(2) + f ‘(2) + f(2) = 42 + (20 + 10)
⇒ f ”(2) + f ‘(2) + f(2) = 72

A. 14	D. 20
B. 16	E. 22
C. 18

Pembahasan :
Garis singgung di titik (1 , 12) maka substitusikan nilai x = 1 dan y = 12.
⇒ y = ax² + bx + c
⇒ 12 = a(1)² + b(1) + c
⇒ 12 = a + b + c
⇒ a + c = 12 – b …… 1)

Konsep barisan aritmatika :

U1 + U3 = 2 U2

a + (a + 2b) = 2 (a + b)

Dengan :
⇒ U₁ = suku awal
⇒ U₂ = suku kedua
⇒ U₃ = suku ketiga

Karena a , b , dan c membentuk barisan aritmatika dan jumlah ketiganya sama dengan 12 , maka substitusi persamaan 1 ke persamaan berikut :
⇒ U₁ + U₃ = 2 U₂ 
⇒ a + c = 2b
⇒ 12 – b = 2b
⇒ 12 = 3b
⇒ b = 4

Karena b = 4 , maka :
⇒ a + c = 12 – b
⇒ a + c = 12 – 4
⇒ a + c = 8

Sekarang kita tinjau persamaan gardien garis singgungnya :

⇒ m =	dy
	dx

⇒ m =	d (ax2 + bx + c)
	dx

⇒ m = 2ax + b

Karena garis singung sejajar dengan garis y = 6x (gradiennya = 6) , maka gradien garis singgung juga sama dengan 6. Ingat bahwa dua garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Dengan begitu , pada titik (1 , 12) diperoleh : 
⇒ m = 2ax + b
⇒ 6 = 2a(1) + b
⇒ 6 = 2a + b

Substitusikan nilai b = 4 yang telah kita dapatkan sebelumnya :
⇒ 6 = 2a + 4
⇒ 2a = 6 – 4
⇒ 2a = 2
⇒ a = 1
Jadi , a = 1 , b = 4 , dan c = 8 – 1 = 7.

Dengan demikian kite dapatkan :
⇒ 3a + 2b + c = 3(1) + 2(4) + 7
⇒ 3a + 2b + c = 3 + 8 + 7
⇒ 3a + 2b + c = 18