Pembahasan Cobaan Nasional Matematika 2008 No 11-15

Persamaan garis singgung lewat titik A(-2 , -1) pada bulat x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0 yakni …
1. -2x – y – 5 = 0
2. x – y + 1 = 0
3. x + 2y + 4 = 0
4. 3x – 2y + 4 = 0
5. 2x – y + 3 = 0
Pembahasan :
Persamaan bulat x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0 sanggup diubah ke dalam bentuk lazim persamaan bulat dengan sentra (a , b) dan jari-jari R , yakni :

(x − a)² + (y − b)² = R²

Jika diubah ke dalam bentuk tersebut , maka :
⇒ x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0
⇒ (x² + 12x) + (y² – 6y) + 13 = 0
⇒ {(x + 6)² – 36} + {(y – 3)² – 9} + 13 = 0
⇒ (x + 6)² + (y – 3)² – 36 – 9 + 13 = 0
⇒ (x + 6)² + (y – 3)² – 32 = 0
⇒ (x + 6)² + (y – 3)² = 32
Diperoleh : a = -6 , b = 3 , R² = 32.
Bacaan Lainnya
Kita telah menerima bentuk lazim persamaan lingkarannya. Sekarang , kita tentukan persamaan garis singgungnya.
Persamaan garis singgung yang lewat titik (x₁ , y₁) pada bulat (x − a)² + (y − b)² = R² sanggup diputuskan dengan rumus berikut :

(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = R²

Dari soal dimengerti garis singgung lewat titik A(-2 , -1) , maka x₁ = -2 dan y₁ = -1.
⇒ (x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = R²
⇒ (-2 − (-6))(x − (-6)) + (-1 − 3)(y − 3) = 32
⇒ (-2 + 6)(x + 6) + (-1 − 3)(y − 3) = 32
⇒ 4(x + 6) + {-4(y − 3)} = 32
⇒ 4x + 24 – 4y + 12 = 32
⇒ 4x – 4y + 36 = 32
⇒ 4x – 4y + 4 = 0
⇒ x – y + 1 = 0
Jawaban : B

Read more : Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran.

Salah satu aspek suku banyak P(x) = x⁴ – 15x² – 10x + n yakni (x + 2). Faktor yang lain yakni ….

A. x – 4 D. x – 6

B. x + 4 E. x – 8

C. x + 6

Pembahasan :
Karena salah satu aspek suku banyak telah dimengerti yakni (x + 2) , maka untuk mengenali aspek yang lain , kita mesti menyeleksi hasil baginya apalagi dahulu.
Hasil bagi sanggup kita tentukan dengan metode sintetik. Jika P(x) = x⁴ – 15x² – 10x + n dibagi (x + 2) , maka :

-2 1 0 -15 -10 n

-2 4 22 -24 +

1 -2 -11 12 n – 24

Hasil bagi h(x) = x³ – 2x² – 11x + 12 dan sisa bagi s(x) = n – 24.
Karena (x + 2) ialah aspek suku banyak , maka sisa pembagiannya sama dengan nol. Pada metode di atas , kita dapatkan sisa bagi n – 24. Maka nilai n yakni :
⇒ n – 24 = 0
⇒ n = 24
Karena n = 24 , maka persamaan suku banyaknya yakni :
⇒ P(x) = x⁴ – 15x² – 10x + 24
Berdasarkan teorema sisa , kekerabatan suku banyak dengan hasil bagi sanggup ditulis selaku berikut :

P(x) = h(x).g(x) + s(x)

Dengan :
P(x) = suku banyak
h(x) = hasil bagi
g(x) = pembagi
s(x) = sisa bagi
Berdasarkan teorema tersebut , maka kita dapatkan :
⇒ P(x) = h(x).g(x) + s(x)
⇒ P(x) = x³ – 2x² – 11x + 12 (x + 2) + 0
Untuk mengenali aspek yang lain , kita sanggup menyaksikan persaman x³ – 2x² – 11x + 12 selaku berikut :
⇒ P(x) = x³ – 2x² – 11x + 12 (x + 2)
⇒ P(x) = (x – 4)(x + 3)(x – 1)(x + 2)
Jadi aspek yang lain yakni (x – 4) , (x + 3) , dan (x – 1).

Jawaban : A

Read more : Soal dan Pembahasan Menentukan Faktor Suku Banyak.

Pada toko buku “murah” , Adil berbelanja 4 buku , 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000 ,00. Bima berbelanja 3 buku , 3 pulpen dan 1 pensil dengan harga Rp 21.500 ,00. Citra berbelanja 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp 12.500 ,00. Jika Dina berbelanja 2 pulpen dan 2 pensil , maka ia mesti mengeluarkan duit …
1. Rp 5.000 ,00
2. Rp 6.500 ,00
3. Rp 10.000 ,00
4. Rp 11.000 ,00
5. Rp 13.000 ,00
Pembahasan :
Untuk memudahkan , kita sanggup laksanakan pemisalan selaku berikut :
⇒ Harga 1 buku = B
⇒ Harga 1 pulpen = P
⇒ Harga 1 pensil = L
Jika ditulis dalam bentuk persamaan matematika , maka soal di atas sanggup ditulis dalam tata cara persamaan sebgai berikut :
⇒ 4B + 2P + 3L = 26.000 ….(1)
⇒ 3B + 3P + L = 21.500 ….(2)
⇒ 3B + L = 12.500 ….(3)
Dari persamaan (2) dan (3) :

3B + 3P + L = 21.500

3B + L = 12.500 –

3P = 9.000

P = 3.000

Substitusi nilai P ke persamaan (1) :
⇒ 4B + 2P + 3L = 26.000
⇒ 4B + 2(3000) + 3L = 26.000
⇒ 4B + 3L = 20.000 ….(4)
Substitusi nilai P ke persamaan (2) :
⇒ 3B + 3P + L = 21.500
⇒ 3B + 3(3000) + L = 21.500
⇒ 3B + L = 12.500 ….(5)
Dari persamaan (4) dan (5) :

4B + 3L = 20.000 |x 1|

3B + L = 12.500 |x 3|

4B + 3L = 20.000

9B + 3L = 37.500 –

-5B = -17.500

B = 3.500

Substitusi nilai B ke persamaan (5) :
⇒ 3B + L = 12.500
⇒ 3(3.500) + L = 12.500
⇒ L = 2.000
Karena Dina berbelanja 2 pulpen dan 2 pensil , maka duit yang mesti ia keluarkan yakni :
⇒ 2P + 2L = 2(3000) + 2(2000)
⇒ 2P + 2L = 6.000 + 4.000
⇒ 2P + 2L = 10.000 ,00
Jadi , Dina mesti mengeluarkan duit Rp 10.000 ,00
Jawaban : C

Read more : Gradien dan Persamaan Garis Linear.

Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ialah himpunan solusi suatu tata cara pertidaksamaan linear.

Nilai maksimum dari f(x ,y) = 7x + 6y yakni ….

A. 88 D. 106

B. 94 E. 196

C. 102

Pembahasan :
Untuk menyelesaikan soal di atas , kita mesti menyeleksi titik potong antar kedua garis. Titik potong tersebut sanggup kita tentukan dengan menyeleksi persamaan garisnya apalagi dahulu.
Untuk menyeleksi persamaan garis jikalau grafiknya dimengerti sanggup digunakan rumus berikut :

ax + by = ab

Dengan menggunakan metode tersebut , maka diperoleh persamaan kedua garis , yakni :
Garis 1 → 20x + 12y = 240 → 5x + 3y = 60.
Garis 2 → 15x + 18y = 270 → 5x + 6y = 90.
Dari gambar di atas , ada tiga titik yang memungkinkan untuk menerima nilai maksimum yakni tiik A , B , dan C. Titik A dan C sanggup kita tentukan dengan menyaksikan gambar yakni A(0 , 15) dan C(12 , 0).
Titik B ialah titik potong antara garis 1 dan garis 2 :

5x + 3y = 60

5x + 6y = 90 –

-3y = -30

y = 10

Substitusi nilai y ke persamaan garis 1 :
⇒ 5x + 3y = 60
⇒ 5x + 30 = 60
⇒ 5x = 30
⇒ x = 6
Jadi , titik B(6 , 10)
Untuk mengetahu nilai maksimum fungsi tujuan f(x ,y) = 7x + 6y , maka subsitusikan masing-masing titik selaku berikut :

Titik Pojok f(x ,y) = 7x + 6y

A(0 , 15) 80

B(6 , 10) 102 → maksimum

C(12 , 0) 84

Jadi , nilai maksimumnya yakni 102.
Jawaban : C

Read more : Menyusun Sistem Pertidaksamaan Linear Jika Grafiknya Diketahui.

Seorang pembuat camilan bagus mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk menghasilkan suatu camilan bagus jenis A dikehendaki 20 gram gula dan 60 gram tepung , sedangkan untuk menghasilkan suatu camilan bagus jenis B dikehendaki 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika camilan bagus A dijual dengan harga Rp 4.000 ,00/buah dan camilan bagus B dijual dengan harga Rp 3.000 ,00/buah , maka pendapatan maksimum yang sanggup diperoleh pembuat camilan bagus tersebut yakni …
1. Rp 600.000 ,00
2. Rp 650.000 ,00
3. Rp 700.000 ,00
4. Rp 750.000 ,00
5. Rp 800.000 ,00
Pembahasan :

A B Stok

Gula 20 20 4.000

Tepung 60 40 9.000

Berdasarkan tabel tersebut , maka versi matematika untuk soal tersebut yakni :
⇒ 20x + 20y ≤ 4.000 → x + y ≤ 200
⇒ 60x + 40y ≤ 9.000 → 3x + 2y ≤ 450
⇒ x ≥ 0 , y ≥ 0
⇒ Fungsi tujuan f(x ,y) = 4.000x + 3.000y

Dari grafik di atas terperinci terlihat ada tiga titik pojok yang memungkinkan nilai maksimum , yakni A , B dan C. Titik A dan C berturut-turut yakni (0 , 200) dan (150 , 0).
Titik B ialah tiitk potong kedua garis :

x + y = 200 |x 2|

3x + 2y = 450 |x 1|

2x + 2y = 400

3x + 2y = 450 –

-x = -50

x = 50

Substitusi nilai x ke persamaan garis 1 :
⇒ x + y = 200
⇒ 50 + y = 200
⇒ y = 150
Jadi titik B(50 , 150)
Pendapatan maksimum :

Titik Pojok f(x ,y) = 4.000x + 3.000y

A(0 , 200) 600.000

B(50 , 150) 650.000 → maksimum

C(150 , 0) 600.000

Jadi , pendapatan maksimumnya yakni Rp 650.000 ,00.
Jawaban : B