Mengubah Kalimat Terbuka Menjadi Pernyataan Berkuantor

Kali­mat ter­bu­ka meru­pakan kali­mat yang belum sang­gup dipu­tuskan nilai kebe­naran­nya alasan­nya meru­pakan men­gan­dung peubah atau vari­abel. Nilai kebe­naran suatu kali­mat ter­bu­ka akan sung­guh bergan­tung pada nilai peubah yang digu­nakan. Pada postin­gan sebelum­nya sudah diba­has bagaimana cara merubah kali­mat ter­bu­ka men­ja­di suatu perny­ataan sehing­ga sang­gup dipu­tuskan nilai kebe­naran­nya. Pada pelu­ang ini , Bahan bergu­ru seko­lah akan mem­ba­has bagaimana cara merubah suatu kali­mat ter­bu­ka men­ja­di suatu perny­ataan berkuan­tor. Sebuah kali­mat ter­bu­ka sang­gup diubah men­ja­di kali­mat berkuan­tor uni­ver­sal atau kali­mat berkuan­tor eksis­ten­sial ter­gan­tung kuan­tor apa yang mau digu­nakan. Nilai kebe­naran kali­mat ter­bu­ka yang sudah diubah men­ja­di perny­ataan berkuan­tor juga sang­gup diten­tukan.

Menggunakan Kuantor Universal

Sebuah kali­mat ter­bu­ka sang­gup diubah men­ja­di perny­ataan den­gan cara merubah peubah atau vari­abel pada kali­mat terse­but den­gan nilai-nilai ter­ten­tu pada him­punan yang sudah dipu­tuskan sehing­ga dihasilkan perny­ataan berni­lai benar atau perny­ataan berni­lai salah.

Bacaan Lain­nya

Selain den­gan cara terse­but , kita juga sang­gup merubah suatu kali­mat ter­bu­ka men­ja­di perny­ataan berkuan­tor. Kali­mat ter­bu­ka yang dibubuhkan kuan­tor uni­ver­sal di bab depan kali­mat terse­but akan men­cip­takan perny­ataan berkuan­tor uni­ver­sal.

Pros­es ini sang­gup dijalankan den­gan meny­er­takan kata semua atau seti­ap pada per­mu­laan kali­mat ter­bu­ka dan menyelek­si him­punan semes­ta yang bers­esua­ian. Mis­al p(x) meru­pakan kali­mat ter­bu­ka yang mau diubah men­ja­di perny­ataan berkuan­tor uni­ver­sal den­gan him­punan semes­ta S , dit­ulis den­gan notasi selaku berikut:

∀x ∈ S , p(x)

Notasi di atas sang­gup diba­ca “Untuk semua x anggota him­punan S , berlaku­lah p(x)”. Notasi terse­but juga sang­gup dipers­ingkat men­ja­di ∀x , p(x) dan diba­ca “Untuk semua x berlaku­lah p(x)”.

Mengubah kalimat terbuka menjadi pernyatan berkuantor

Sete­lah kali­mat ter­bu­ka diuba­ha men­ja­di suatu perny­ataan berkuan­tor uni­ver­sal , maka kita juga sang­gup menyelek­si nilai kebe­naran­nya. Nilai kebe­naran untuk perny­ataan berkuan­tor uni­ver­sal dipu­tuskan den­gan cara merubah vari­abel den­gan nilai menu­rut him­punan yang diten­tukan.

Den­gan demikian , nilai kebe­naran dari suatu perny­ataan berkuan­tor uni­ver­sal yang dis­usun dari kali­mat ter­bu­ka bergan­tung pada him­punan sem­se­ta yang dit­in­jau dan ben­tuk kali­mat ter­bukanya.

Con­toh 1 :
Ubah kali­mat ter­bu­ka p(x) : x2 + 6 > 0 men­ja­di kali­mat berkuan­tor uni­ver­sal dan pastikan nilai kebe­naran­nya kalau him­punan semes­tanya meru­pakan semua him­punan bilan­gan real.

Pem­ba­hasan :
Kali­mat ter­bu­ka x2 + 6 > 0 sang­gup diubah men­ja­di perny­ataan berkuan­tor uni­ver­sal selaku berikut :
∀x ∈ R , x2 + 6 > 0

Perny­ataan berkuan­tor di atas berni­lai benar alasan­nya meru­pakan untuk semua x bilan­gan real , x2 + 6 > 0 berni­lai benar. Cara menen­tukan­nya mudah , ingat bah­wa untuk semua x bilan­gan real , x2 akan men­cip­takan bilan­gan yang lebih besar atau sama den­gan nol sehing­ga nis­caya x2 + 6 > 0.
Con­toh 2 :
Ubah kali­mat ter­bu­ka p(x) : 3x + 4 = 10 men­ja­di kali­mat berkuan­tor uni­ver­sal dan pastikan nilai kebe­naran­nya untuk him­punan semes­ta semua him­punan bilan­gan real.

Pem­ba­hasan :
Kali­mat ter­bu­ka 3x + 4 = 10 sang­gup diubah men­ja­di perny­ataan berkuan­tor uni­ver­sal selaku berikut :
∀x ∈ R , 3x + 4 = 10

Untuk menyak­sikan nilai kebe­naran­nya , coba gan­ti x den­gan salah satu bilan­gan real mis­al­nya x = 1. Jika x digan­ti men­ja­di 1 , maka diper­oleh:
⇒ 3x + 4 = 10
⇒ 3(1) + 4 = 10
⇒ 7 = 10 (salah)

Jika x digan­ti men­ja­di 2 , maka diper­oleh:
⇒ 3x + 4 = 10
⇒ 3(2) + 4 = 10
⇒ 10 = 10 (benar)
Dari dua nilai di atas sang­gup kita lihat bah­wa p(x) berni­lai benar kalau x = 2 dan salah kalau x = 1. Tetapi , per­lu kita ingat bah­wa perny­ataan ter­bu­at meru­pakan perny­ataan berkuan­tor uni­ver­sal yang artinya berlaku untuk semua.

Kare­na p(x) salah untuk x = 1 , itu artinya tidak semua anggota bilan­gan real menyang­gupi p(x). Den­gan demikian , perny­ataan ∀x ∈ R , 3x + 4 = 10 berni­lai salah meskipun ada satu nilai yang benar.

Baca juga : Pengert­ian Kuan­tor Uni­ver­sal dan Kuan­tor Khusus.

Menggunakan Kuantor Eksistensial

Jika pada per­mu­laan kali­mat ter­bu­ka dibubuhkan kuan­tor eksis­ten­sial beru­pa sim­bol “∃” , maka akan dihasilkan perny­ataan berkuan­tor eksis­ten­sial. Mis­al p(x) meru­pakan kali­mat ter­bu­ka , maka perny­ataan berkuan­tor khusu kalau him­punan semes­tany S sang­gup dit­ulis den­gan notasi selaku berikut:

∃x ∈ S , p(x)

Notasi di atas sang­gup diba­ca “Beber­a­pa x anggota him­punan S , menyang­gupi p(x)” atau “Ada x anggota him­punan S , menyang­gupi p(x)”. Arti dari ada pada notasi terse­but meru­pakan sedik­it­nya ada satu nilai x yang men­cip­takan p(x) berni­lai benar.

Sama menyeru­pai perny­ataan berkuan­tor uni­ver­sal , nilai kebe­naran perny­ataan berkuan­tor khusus juga sang­gup dipu­tuskan den­gan cara merubah nilai peubah menu­rut him­punan semes­ta yang dipu­tuskan dan menu­rut ben­tuk dari kali­mat ter­bukanya.

Perny­ataan berkuan­tor eksis­ten­sial akan berni­lai benar , kalau ada satu saja nilai x yang menyang­gupi p(x). Jika tidak ada sama sekali nilai x yang menyang­gupi p(x) , maka perny­ataan terse­but berni­lai salah.

Seba­gai pola seder­hana , katakan­lah di kelas X ada 40 murid. Dari jum­lah terse­but terny­a­ta selu­ruh­nya mem­per­oleh nilai di atas dela­pan pada ulan­gan matem­ati­ka. Pada keadaan ini , maka perny­ataan “Ada murid kelas X yang mem­per­oleh nilai di bawah dela­pan pada ulan­gan matem­ati­ka” berni­lai salah alasan­nya meru­pakan semua murid nilainya di atas dela­pan.

Con­toh :
Jika him­punan semes­tanya meru­pakan him­punan bilan­gan real , maka ubahlah kali­mat ter­bukan p(x) 4x — 3 = 5 men­ja­di perny­atan berkuan­tor eksis­ten­sial dan pastikan nilai kebe­naran­nya.

Pem­ba­hasan :
Perny­ataan berkuan­tor eksis­ten­sial dari 4x — 3 = 5 sang­gup dit­ulis selaku berikut:
∃x ∈ R , 4x — 3 = 5

Kare­na sedik­it­nya mesti ada satu nilai x yang men­cip­takan p(x) benar , maka kita sang­gup men­cari nilai x yang menyang­gupi per­samaan terse­but.
⇒ 4x — 3 = 5
⇒ 4x = 5 + 3
⇒ 4x = 8
⇒ x = 2

Terny­a­ta nilai x yang menyang­gupi p(x) meru­pakan x = 2. Kare­na 2 meru­pakan bilan­gan real dan x = 2 mem­bu­at p(x) berni­lai benar , maka perny­ataan berkuan­tor eksis­ten­sial terse­but berni­lai benar.

Baca juga : Hubun­gan Imp­likasi , Kon­vers , Invers , dan Kon­tra­po­sisi.

Share ke Face­book »Share ke Twit­ter »
Cafeberita.com meru­pakan blog wacana materi bela­jar. Gunakan Kolom Search atau pen­car­i­an untuk mem­per­oleh materi bergu­ru yang ingin dipela­jari.

Pos terkait