Menentukan Rumus Suku Ke-N Dan Beda Barisan Rancangan Turunan

Cafeberita.com – Penggunaan Konsep Turunan dalam Deret Aritmatika. Pada pembahasan sebelumnya , edutafsi sudah memaparkan bahwa persamaan rumus jumlah n suku pertama (Sn) sanggup dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat dalam variabel n. Sebelumnya juga sudah dibahas bahwa rumus suku ke-n dan beda barisan sanggup diputuskan menurut rumus jumlah n suku pertamanya. Nah , jikalau rumus jumlah n suku pertama tersebut dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat , ternyata kita sanggup mempergunakan desain turunan untuk memutuskan rumus suku ke-n dan beda barisan tersebut. Pada pembahasan ini , edutafsi akan membahas bagaimana cara memutuskan rumus suku ke-n dan beda barisan aritmatika dengan desain turunan jikalau rumus Sn dintakan selaku fungsi kuadrat.

Dengan menggunakan desain turuan (differensial) , kita sanggup memutuskan rumus suku ke-n dan beda barisan aritmatika dengan beberapa langkah mudah dengan catatan , rumus jumlah n suku pertamanya dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat (Sn = An² + Bn). Sebelum membahas bagaimana caranya , ada baiknya kita mengingat kembali bagaimana prinsip atau desain turunan fungsi.

Turunan atau differensial ialah salah satu proses menurunkan suatu fungsi terhadap variabel tertentu. Misalkan y yakni suatu fungsi daalam variabel x atau y = f(x) , dan y ialah fungsi yang sanggup diturunkan pada setiap titik , maka turunan pertama fungsi y terhadap x lazimnya ditulis selaku dy/dx atau y’ atau f ‘(x).

Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) terhadap x sanggup ditulis selaku :
⇒ f ‘(x) = dy/dx = df(x)/dx

Misal suatu fungsi dinyatakan dalam bentuk f(x) = axⁿ + bx , maka turunan pertama dari fungsi tersebut sanggup ditulis selaku berikut :
⇒ f ‘(x) = df(x)/dx = d(axⁿ + bx)/dx
⇒ f ‘(x) = n.ax^n-1 + b

Contoh :
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut ini :
a). f(x) = 4x³ + 5x
b). y = 2x² – 9x
c). Sn = An² + Bn

Pembahasan :
a). f ‘(x) = 3.4 x^3-1 + 5 = 12 x² + 5
b). y’ = 2.2 x^2-1 – 9 = 4x – 9
c). Sn’ = 2.An^2-1 + B = 2 An + B.

A. Menentukan Un Jika Sn dinyatakan Dalam Fungsi Kuadrat

Jika rumus jumlah n suku pertama (Sn) dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat dalam variabel n , maka rumus suku ke-n barisan tersebut ialah turunan pertama Sn dikurang dengan setengah kali turunan kedua Sn.

Rumus Sn sanggup dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat selaku berikut :
⇒ Sn = F(n) = An² + Bn

Turunan pertama dari fungsi tersebut yakni :
⇒ Sn’ = 2 An + B

Turunan kedua dari fungsi tersebut yakni :
⇒ Sn” = 2A

Maka , rumus suku ke-n deret tersebut yakni :
⇒ Un = Sn’ – ½Sn”
⇒ Un = 2 An + B – ½(2A)
⇒ Un = 2 An + (B – A)

Jadi , ada dua rumus yang sanggup digunakan , yakni :

Un = Sn’ − ½Sn”

Un = 2 An + (B – A)

Dengan Un menyatakan rumus suku ke-n barisan aritmatika , n menyatakan banyak suku (sebagai variabel) , A dan B ialah bilangan tertentu yang sanggup dilihat lewat persamaan dalam soal. Untuk mengerti pemakaian rumus tersebut , amati tumpuan berikut ini.

Contoh : 
Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 5n² + 2n , maka tentukanlah rumus suku ke-n deret tersebut.

Pembahasan :
Dik : Sn = 5n² + 2n
Dit : Un = … ?

Cara Pertama :
⇒ Un = Sn’ – ½Sn”
⇒ Un = (10n + 2) – ½(10)
⇒ Un = 10n + 2 – 5
⇒ Un = 10n – 3

Cara Kedua :
Dari fungsi Sn = 5n² + 2n , dikenali A = 5 , B = 2 (Perhatikan bentuk Sn = An² + Bn).
⇒ Un = 2 An + (B – A)
⇒ Un = 2.5n + (2 – 5)
⇒ Un = 10n – 3

Jadi , rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut yakni Un = 10n – 3. Bandingkan hasil pada cara pertama dan cara kedua.

B. Menentukan Beda Barisan Dengan Konsep Turunan

Jika rumus jumlah n suku pertama (Sn) suatu deret aritmatika dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat dalam variabel n , maka beda barisan atau beda deret aritmatika tersebut akan sama dengan turunan kedua Sn.

Rumus Sn sanggup dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat selaku berikut :
⇒ Sn = F(n) = An² + Bn

Turunan pertama dari fungsi tersebut yakni :
⇒ Sn’ = 2 An + B

Turunan kedua dari fungsi tersebut yakni :
⇒ Sn” = 2A

Maka , beda barisan sanggup diputuskan dengan rumus :
⇒ b = Sn”
⇒ b = 2 A

Jadi , ada dua rumus yang sanggup digunakan , yakni :

b = Sn”

b = 2 A

Dengan b menyatakan beda barisan aritmatika , Sn” menyatakan turunan kedua dari Sn , dan A ialah bilangan tertentu yang sanggup dilihat lewat persamaan dalam soal. Untuk mengerti pemakaian rumus tersebut , amati tumpuan berikut ini.

Contoh :
Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 3n² + 5n , maka tentukanlah beda barisan tersebut.

Pembahasan :
Dik : Sn = 3n² + 5n
Dit : b = … ?

Cara Pertama :
Turunan pertama Sn :
⇒ Sn’ = 6n + 5

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn” = 6

Beda barisan tersebut yakni :
⇒ b = Sn”
⇒ b = 6

Cara Kedua :
Dari fungsi Sn = 3n² + 5n , dikenali A = 3 dan B = 5
⇒ b = 2A
⇒ b = 2(3)
⇒ b = 6

Jadi , beda barisan tersebut yakni 6. Bandingkan hasil yang diperoleh lewat cara pertama dan cara kedua. Anda sanggup memutuskan salah satu cara yang paling anda anggap mudah sesuai dengan pengertian anda.

Demikianlah pembahasan singkat perihal cara memutuskan suku ke-n dan beda deret aritmatika jikalau rumus Sn dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat dengan menggunakan desain turunan. Jika materi mencar ilmu ini berfaedah , bantu kami membagikannya terhadap kawan anda lewat tombol share di bawah ini.