Menentukan Jumlah N Suku Terakhir Sebuah Deret Aritmatika

Cafeberita.com – Jumlah n Suku Terakhir. Ketika membahas soal deret , maka subtopik utama yang hendak dibahasa yakni menyeleksi jumlah n suku pertama deret tersebut. Jumlah n suku pertama deret aritmatika biasa dilambangkan dengan “Sn” dengan n menyatakan banyak atau jumlah suku pertama yang dijumlahkan. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika sanggup diputuskan menggunakan dua rumus dasar Sn yang sudah dibahas pada beberapa postingan sebelumnya. Lalu bagaimana jikalau yang ditanya yakni jumlah n suku terakhir? Jika dikenali deret aritmatika berisikan n suku dan anda diminta menyeleksi jumlah n suku terakhirnya , bagaimana cara menentukannya? Apakah akan sama dengan cara menyeleksi jumlah n suku pertama?

Jumlah n suku pertama intinya menjumlahkan sebanyak n suku pertama suatu deret. Dengan prinsip yang serupa , jumlah n suku tekakhir tujuannya yakni menjumlahkan sebanyak n suku terakhir suatu deret. Jika jumlah n suku pertama kita lihat dari suku pertama , maka jumlah n suku terakhir kita lihat dari bab suku terakhir.

Misalkan dikenali suatu deret aritmatika berisikan sepuluh suku yang ditulis selaku U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + U₆ + U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀. Dari deret tersebut , misal kita diminta menyeleksi jumlah 5 suku pertama dan jumlah 5 suku terakhir. Dalam hal ini , lima suku pertama yakni U₁ , U₂ , U₃ , U₄ , dan U₅ , sedangkan lima suku terakhir yakni U₆ , U₇ , U₈ , U₉ dan U₁₀.

Dengan demikian , jikalau diminta menyeleksi jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut , maka perhitungannya yakni selaku berikut :
⇒ S₅ = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅

Dengan cara yang serupa , jumlah 5 suku terakhir dari deret tersebut diputuskan dengan menjumlahkan 5 suku terakhir selaku berikut :
⇒S₅ = U₆ + U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀

Sampai di sini kita sudah menyaksikan bagaimana prinsip penjumlah jumlah n suku pertama dan jumlah n suku terakhir. Intinya , jumlah n suku pertama dilihat dari sebelah kiri (dimulai dari suku pertama) sedangkan jumlah n suku terkahir dilihat dari sebelah kanan (dimulai dari suku terakhir).

Cara di atas sanggup dengan mudah kita laksanakan jikalau deret tersebut berisikan jumlah suku yang sedikit dan seluruh sukunya diketahui. Tapi bagaimana jikalau deret itu berisikan belasan atau puluhan suku dan cuma beberapa suku saja yang diketahui? Bagaimana cara menyeleksi jumlah n suku terakhirnya?

Jika dihadapkan pada keadaan seumpama itu , maka kita sanggup mempergunakan sifat-sifat barisan aritmatika dan rumus dasar menyeleksi jumlah n suku pertama. Prinsipnya yakni kita memisahkan n suku terakhir menjadi suatu deret sehingga akan sama prinsipnya dengan n suku pertama.

Sebagai referensi , misalkan deret berisikan sepuluh suku selaku berikut :
U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + U₆ + U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀.

Dari deret tersebut kita diminta menyeleksi jumlah 4 suku terakhir. Kita tahu , 4 suku terakhir yang dimaksud dalam deret tersebut yakni U₇ , U₈ , U₉ dan U₁₀. Nah , berikutnya kita sanggup memisahkan keempat suku tersebut sehingga dihasilkan deret aritmatika yang cuma berisikan empat suku.

Deret aritmatika yang berisikan 4 suku terakhir yakni selaku berikut :
U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀.

Jika deret tersebut kita pandang selaku suatu deret yang gres atau yang terpisah dari deret semula (yang sukunya ada sepuluh) , maka kita sanggup menilai keempat suku terkahir itu selaku empat suku pertama. Dalam hal ini , U₇ menjadi U₁ , U₈ menjadi U₂ ,  U₉ menjadi U₃ , dan U₁₀ menjadi U₄.
 
Tapi perlu dikenang bahwa pengandaian tersebut cuma berlaku untuk penomoran sukunya saja , sedangkan nilai dari masing-masing suku tetap sama. Sebagai referensi , diberi deret : 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20.

Dari deret tersebut , empat suku terakhirnya yakni 14 , 16 , 18 , dan 20. Keempat suku tersebut sanggup disusun selaku deret tersendiri yang berisikan empat suku selaku berikut :
14 + 16 + 18 + 20.

Nah , dalam hal ini , semula 14 , 16 , 18 , dan 20 pada deret yang pertama (yang berisikan 9 suku) ialah suku ke-6 , suku ke-7 , suku ke-8 , dan suku ke-9. Akan tapi , pada deret tersendiri (yang berisikan 4 suku) , keempat suku itu sanggup kita anggap selaku suku pertama , suku ke-2 , suku ke-3 , dan suku ke-4.

Contoh :
Lima belas bilangan membentuk deret aritmatika dengan beda positif. Jika dikenali jumlah suku ke-13 dan suku ke-15 sama dengan 188 sedangkan selisih antara suku ke-13 dan suku ke-15 yakni 14 , maka tentukanlah jumlah 5 suku terakhir deret tersebut.

Pembahasan :
Dik : U₁₃ + U₁₅ = 188 , U₁₅ – U₁₃ = 14
Dit : S₅ suku terakhir = …. ?

Deret tersebut berisikan 15 suku selaku berikut :
U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + U₆ + U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀ + U₁₁ + U₁₂ + U₁₃ + U₁₄ + U₁₅.

Deret yang terbentuk dari lima suku terakhirnya yakni :
U₁₁ + U₁₂ + U₁₃ + U₁₄ + U₁₅

Dalam hal ini , mari kita pandang deret yang berisikan 5 suku terakhir selaku deret tersendiri sehingga dalam hal ini , U₁₁ bertindak selaku suku pertama (a) , dan U₁₅ bertindak selaku suku terakhir (Un).

Untuk menyeleksi jumlah 5 suku tersebut , kita mesti menyeleksi apalagi dulu suku pertamanya (dalam hal ini U₁₁) dan suku terkahirnya (dalam hal ini U₁₅).

Dari soal kita temukan dua persamaan :
(1) U₁₃ + U₁₅ = 188
(2) U₁₅ – U₁₃ = 14

Sesuai dengan rancangan Un , maka kita temukan :
⇒ U₁₅ = U₁₄ + b
⇒ U₁₅ = U₁₃ + b + b
⇒ U₁₅ = U₁₃ + 2b

Substitusi persamaan tersebut ke persamaan (2) :
⇒ U₁₅ – U₁₃ = 14
⇒ U₁₃ + 2b – U₁₃ = 14
⇒ 2b = 14
⇒ b = 7

Selanjutnya , substitusi persamaan U₁₅ dan  nilai b ke persamaan (1) :
⇒ U₁₃ + U₁₅ = 188
⇒ U₁₃ + U₁₃ + 2b = 188
⇒ 2U₁₃ + 2(7) = 188
⇒ 2U₁₃ = 188 – 14
⇒ 2U₁₃ = 174
⇒ U₁₃ = 87

Selanjutnya kita temukan suku ke-15 selaku berikut :
⇒ U₁₅ = U₁₃ + 2b
⇒ U₁₅ = 87 + 2(7)
⇒ U₁₅ = 101

Kita sudah temukan suku terakhirnya , berikutnya tinggal mencari suku pertama (suku ke-11). Caraya yakni selaku berikut :
⇒ U₁₃ = U₁₁ + 2b
⇒ 87 = U₁₁ + 2(7)
⇒ U₁₁ = 87 – 14
⇒ U₁₁ = 73

Dengan demikian , jumlah 5 suku terahirnya yakni :
⇒ S₅ = n/2 (a +  Un)
⇒ S₅ = 5/2 (U₁₁ + U₁₅)
⇒ S₅ = 5/2 (73 + 101)
⇒ S₅ = 5/2 (174)
⇒ S₅ = 435

Jadi , jumlah 5 suku terakhir deret tersebut yakni 435.