Menentukan Beda Barisan Aritmatika Jikalau Dikenali Sebarang Suku

Cafeberita.com – Hubungan Sebarang Suku dengan Beda. Pada pembahasan sebelumnya , edutafsi sudah membahas cara menyeleksi beda barisan aritmatika untuk beberapa keadaan yang umum. Salah satu keadaan yang dibahas yakni menyeleksi beda barisan jika dua suku yang tidak berdekatan diketahui. Jika pada soal dikenali dua suku sebarang yang tidak berdekatan atau tidak berurutan , maka salah satu cara menyeleksi beda barisannya yakni dengan mempergunakan desain metode persamaan linear dua variabel. Akan tapi , soal seumpama itu juga sanggup tertuntaskan tanpa desain persamaan linear dua variabel. Cara lain yang sanggup digunakan yakni dengan menyatakan kekerabatan sebarang suku yang dikenali lewat beda barisan. Bagaimana caranya? Untuk lebih jelasnya amati pembahasan berikut ini.

A. Hubungan Dua Suku Berdekatan

Hubungan antara dua suku yang berdekatan (berurutan) dalam suatu barisan arimatika sanggup dilihat lewat persamaan atau rumus menyeleksi beda. Dari rumus tersebut terang bahwa selisih antara dua suku berdekatan dalam suatu barisan aritmatika yakni beda barisan tersebut.

Persamaan rumus menyeleksi beda barisan sanggup ditulis dalam bentuk yang berlainan untuk menyatakan bagaimana kekerabatan antara dua suku yang berdekatan. Dengan bentuk lain , akan terlihat bahwa suku ke-n suatu barisan aritmatika ialah jumlah dari suku sebelumnya dengan beda barisan tersebut. Hubungan tersebut tanpak pada persaman di bawah ini :

Un = Un-1 + b

Keterangan :
Un = suku ke-n barisan aritmatika (n = 1 , 2 , 3 , …)
U_n-1 = suatu suku sebelum suku ke-n
b = beda barisan atau selisih antara dua suku berdekatan.

Dari persamaan di atas sanggup dikenali bahwa suku ketiga suatu barisana aritmatika yakni jumlah dari suku kedua ditambah beda barisan , suku keempat yakni jumlah dari suku ketiga ditambah beda barisan , dan begitu seterusnya. Hubungan tersebut ialah desain dasar aritmatika yang mesti dipahami.

Contoh :
Diketahui barisan aritmatika : 45 , 51 , 57 , 63 , 69 , 75. Tentukanlah beda barisan tersebut.

Pembahasan :
Untuk soal dasar seumpama ini , beda barisan sanggup dengan mudah dikenali alasannya beda barisan yakni selisih antara dua suku barisan yang berdekatan , sehingga sanggup diputuskan dengan menjumlah selisih antar suku-suku yang diketahui.

Beda barisan :
⇒ b = 51 – 45 = 57 – 51 = 63 – 57
⇒ b = 6 = 6 = 6
⇒ b = 6

Jadi , beda barisan tersebut yakni 6.

B. Hubungan Sebarang Suku

Lalu bagaimana jika pada soal tidak dikenali dua suku yang berdekatan? Jika pada soal cuma dikenali dua atau beberapa suku sebarang yang posisinya tidak berdekatan , bagaimana kekerabatan antara suku-suku tersebut lewat beda barisan?

Misal diberi barisan aritmatika selaku berikut :
2 , 6 , 10 , 14 , 18 , 22 , 26 , 30.

Dari data di atas , sanggup dikenali suku kelima dan suku kedelapan barisan tersebut yakni 18 dan 30. Bagaimana kekerabatan kedua suku tersebut jika dinyatakan lewat beda barisan? Hubungan tersebut terlihat pada penurunan persamaan selaku berikut:

Persamaan untuk suku kedelapan :
Suku ke-8 yakni jumlah antara suku ke-7 ditambah beda barisan.
⇒ U₈ = U₇ + b
⇒ U₈ = (U₆ + b) + b
⇒ U₈ = U₆ + b + b
⇒ U₈ = (U₅ + b) + b + b
⇒ U₈ = U₅ + b + b + b
⇒ U₈ = U₅ + 3b

Sekarang mari kita buktikan persamaan di atas sesuai atau tidak. Pada soal dikenali beda barisan yakni 4 (6 – 2 = 4). Dengan demikian suku kedelapan barisan tersebut adalah:
⇒ U₈ = U₅ + 3b
⇒ U₈ = 18 + 3(4)
⇒ U₈ = 18 + 12
⇒ U₈ = 30 (Benar).

Dari penurunan di atas , ternyata diperoleh kekerabatan antara suku kedelapan dan suku kelima. Hubungan tersebut ternyata memiliki pola khusus yang berlaku untuk semua sebarang suku dalam barisan aritmatika. Jika dinyatakan dalam persamaan biasa , maka kekerabatan sebarang suku yakni selaku berikut:

Un = Un-k + kb

Keterangan :
Un = suku ke-n barisan aritmatika (n = 1 , 2 , 3 , …)
U_n-k = suku sebarang sebelum suku ke-n (k = 1 , 2 , 3 , …)
b = beda barisan atau selisih antara dua suku berdekatan.

Contoh :
Jika dikenali suku keenam dan suku kesepuluh suatu barisan aritmatika yakni 9 dan 25 , maka tentukanlah beda barisan tersebut!

Pembahasan :
Dik : U₆ = 9 , U₁₀ =25
Dit : b = …. ?

Nyatakan suku ke-10 dalam bentuk suku ke-6 :
Untuk menyatakan suku ke-10 ke dalam bentuk persamaan di atas , maka kita pastikan nilai k yang bersesuaian. Nilai k ialah selisih n antara suku ke-10 dengan suku ke-6 :
⇒ k = 10 – 6
⇒ k = 4

Dengan demikian kita dapatkan n = 10 dan k = 4. Selanjutnya substitusi nilai n dan k ke persamaan biasa kekerabatan sebarang suku selaku berikut:
⇒ U_n = U_n-k + kb
⇒ U₁₀ = U_10-4 + 4b
⇒ U₁₀ = U₆ + 4b
⇒ 25 = 9 + 4b
⇒ 4b = 25 – 9
⇒ 4b = 16
⇒ b = 4

Jadi , beda barisan tersebut yakni 4. Dengan cara ini kita tidak perlu menyusun metode persaman linear dua variabel seumpama pada pembahasan sebelumnya.

Perhatikan beberapa teladan kekerabatan sebarang suku berikut ini:
a). U₁₀ dan U₄ → U₁₀ = U₄ + 6b
b). U₈ dan U₃ → U₈ = U₃ + 5b
c). U₁₂ dan U₈ → U₁₂ = U₈ + 4b.