Menentukan Banyak Suku (N) Aritmatika Jika Jumlah N Suku (Sn) Diketahui

Cafeberita.com – Jumlah Suku Berdasarkan Jumlah Total Deret Aritmatika. Soal dasar yang bermitra dengan jumlah n suku pertama sebuah barisan atau deret aritmatika umumnya senantiasa mengacu pada perintah menyeleksi berapa jumlah n suku atau jumlah total dari deret tersebut. Ada dua rumus biasa yang biasa digunakan untuk menyeleksi jumlah n suku pertama , yakni jikalau suku permulaan dan suku ke-n dikenali atau dengan rumus kedua jikalau suku permulaan dan beda diketahui. Kedua rumus tersebut sanggup digunakan jikalau banyak suku (n) diketahui. Lalu bagaimana jikalau soalnya dibalik? Anda diminta menyeleksi banyak suku sebuah deret jikalau jumlah total deret tersebut diketahui. Bagaimana cara menentukannya?

A. Rumus Dasar Jumlah Deret (Sn)

Jumlah n suku pertama (Sn) dalam sebuah deret aritmatika merupakan nilai yang menyatakan hasil dari penjumlahan n suku pertama dalam deret tersebut. Jika lima suku pertama yang dijumlahkan , maka jumlah n suku yang dimaksud merupakan S₅. Jika sepuluh suku pertama yang dijumlahkan maka , yang dimaksud merupakan S₁₀ , begitu sebaliknya.

Secara biasa terdapat dua keadaan dalam soal penentuan jumlah n suku pertama , yaitu:
1). Suku pertama dan suku ke-n diketahui
2). Suku pertama dan beda diketahui.

Pada kasus lain , ada juga keadaan dimana kita diminta menyeleksi jumlah n suku pertama jikalau banya suku (n) tidak diketahui. Namun keadaan itu masih sanggup teratasi dengan menggunakan salah satu rumus utama menyeleksi jumlah n suku pertama (Sn).

#1 Jika a dan Un diketahui
Jika di dalam soal dikenali suku pertama dan suku ke-n (n = 1 , 2 , 3 , …) , maka jumlah n suku pertama sanggup dijumlah menggunakan rumus berikut :

Sn = n/2 (a + Un)

#2 Jika a dan b diketahui
Jika di dalam soal suku ke-n tidak dikenali , maka kita sanggup mempergunakan nilai a dan b yang dikenali dalam soal. Jumlah n suku pertama sanggup dijumlah dengan rumus berikut :

Sn = n/2 {2a + (n – 1)b}

Dengan Sn menyatakan jumlah n suku pertama , a menyatakan suku pertama barisan aritmatika , Un menyatakan suku ke-n , b menyatakan beda barisan aritmatika , dan n menyatakan banyak suku barisan atau deret aritmatika.

B. Cara Menentukan Banyak Suku (n)

Banyak suku (n) dalam sebuah deret atau barisan aritmatika , secara sederhana sanggup diartikan selaku banyak anggota atau banyak bilangan (jika suku tersebut merupakan bilangan atau angka) dalam deret tersebut. Dalam penentuan nilai n perlu dikenang bahwa n tidak pernah negatif lantaran banyak suku merupakan biangan bundar positif tanpa nol (n = 1 , 2 , 3 , …).

Sama menyerupai bentuk soalnya yang dibalik , untuk menyeleksi banyak suku (n) sebuah barisan atau deret aritmatika jikalau jumlah n suku atau jumlah total deret aritmatika dikenali , kita sanggup mempergunakan salah satu rumus Sn di atas dengan cara membalikannya.

Pada pembahasan ini , kita akan membahas sebuah versi soal yang sanggup teratasi dengan menggunakan rumus Sn kedua , yakni jikalau suku pertama (a) , beda barisan (b) diketahui. Penyelesaiannya cukup mudah , yakni dengan mensubstitusi nilai-nilai yang dikenali ke rumus Sn tersebut.

Rumus Sn yang hendak kita gunakan sanggup diubah menjadi bentuk persamaan kuadrat dalam variabel n. Selanjutnya , untuk mengenali berapa nilai n , kita sanggup mempergunakan rancangan solusi persamaan kuadrat. Bisa menggunakan pemaktoran atau dengan rumus kuadrat abc.

Coba amati penguraian rumus Sn menjadi bentuk persamaan kuadrat :
⇒ Sn = ⁿ/₂ {2a + (n – 1)b}
⇒ Sn = ⁿ/₂ {2a + bn – b}
⇒ Sn = an + ¹/₂ bn² – ^b/₂ n}
⇒ Sn = (a – ^b/₂)n + ¹/₂ bn²
⇒ ¹/₂ bn² + (a – ^b/₂)n – Sn = 0

Dari penguraian di atas , jikalau Sn , a , dan b dikenali , maka akan kita dapatkan persamaan kuadrat dalam variabel n. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat pola berikut ini.

Contoh :
Tentukan banyak suku dari deret 10 + 14 + 18 + … yang menampilkan jumlah total 120!

Pembahasan :
Dik : a = 10 , b = 14 – 10 = 4 , Sn = 120
Dit : n = … ?

Substitusi nilai a , b , dan Sn ke rumus jumlah n suku :
⇒ Sn = ⁿ/₂ {2a + (n – 1)b}
⇒ 120 = ⁿ/₂ {2.10 + (n – 1)4}
⇒ 120 = ⁿ/₂ (20 + 4n – 4)
⇒ 120 = ⁿ/₂ (16 + 4n)
⇒ 120 = 8n + 2n²
⇒ 60 = 4n + n²
⇒ n² + 4n – 60 = 0

Pada tahap ini kita telah menerima persamaan kuadrat dalam variabel n. Selanjutnya merupakan menyeleksi nilai n dengan sistem pemfaktoran , selaku berikut :
⇒ n² + 4n – 60 = 0
⇒ (n + 10)(n – 6) = 0
⇒ n = -10 atau n = 6

Karena jumlah atau banyak n merupakan positif (n = 1 , 2 , 3 , …) , maka nilai n yang menyanggupi merupakan n = 6. Kaprikornus , banya suku agar jumlah deret tersebut 120 merupakan 6 suku.