Luas Segitiga Bila Ketiga Sisinya Diketahui

Jika pan­jang keti­ga sisi pada segit­i­ga siku-siku dike­nali , maka luas segit­i­ga siku-siku terse­but sang­gup dijum­lah den­gan mudah meng­gu­nakan rumus luas segit­i­ga menu­rut pan­jang alasa dan tingginya. Lalu bagaimana den­gan segit­i­ga sebarang yang tidak dike­nali tingginya? Untuk segit­i­ga sebarang , kalau pan­jang keti­ga sisinya dike­nali , maka luas segit­i­ga terse­but sang­gup dijum­lah den­gan rumus yang ditu­runk­an meng­gu­nakan desain trigonometri. Kon­sep trigonometri yang digu­nakan untuk menu­runk­an rumus terse­but yaitu iden­ti­tas trigonometri dan hukum cos­i­nus. Pada pelu­ang ini , Bahan bergu­ru seko­lah cuma akan mem­ba­has rumus untuk menyelek­si luas segit­i­ga kalau pan­jang keti­ga sisinya dike­nali , tetapi tidak mem­ba­has penu­runan atau pem­buk­t­ian rumus­nya. Penu­runan rumus cuma diba­has ser­cara ringkas.

Rumus Keliling Segitiga

Sete­lah ditu­runk­an menu­rut desain iden­ti­tas trigonometri dan hukum kos­i­nus , terny­a­ta rumus luas segit­i­ga yang pan­jang keti­ga sisinya dike­nali berafil­iasi den­gan rumus kelil­ing segit­i­ga. Seper­ti yang kita tahu , kelil­ing segit­i­ga sama den­gan jum­lah dari pan­jang keti­ga sisinya.

Bacaan Lain­nya

Mis­al diberi segit­i­ga ABC den­gan sudut A , B , dan C. Jika a , b , dan c yaitu sisi-sisi pada segit­i­ga terse­but yang bera­da di hada­pan sudut A , B , dan C , maka kelil­ing segit­i­ga sang­gup dijum­lah den­gan rumus :

K = a + b + c

Den­gan :
K = kelil­ing segit­i­ga
a = pan­jang sisi BC
b = pan­jang sisi AC
c = pan­jang sisi AB

Rumus untuk menen­tu­an luas segit­i­ga yang pan­jang keti­ga sisinya dihubungkan den­gan besaran seten­gah kelil­ing segit­i­ga yang dis­im­bolkan den­gan karak­ter s selaku berikut:

s = ½ K = ½ (a + b + c)

Den­gan :
s = seten­gah kelil­ing segit­i­ga
K = kelil­ing segit­i­ga

Baca juga : Luas Segit­i­ga Jika Dike­tahui Dua Sudut Satu Sisi.

Luas Segitiga Jika Ketiga Sisi Diketahui

Mis­al diberi segit­i­ga sem­barang ABC den­gan sudut A , B , dan C. Jika pan­jang sisi a , pan­jang sisi b , dan pan­jang sisi c dike­nali , maka luas segit­i­ga terse­but sang­gup dijum­lah den­gan rumus yang diper­oleh dari rumus yang diba­has sebelum­nya.

Luas segitiga kalau panjang ketiga sisi diketahui

Sebelum­nya sudah diba­has rumus menyelek­si luas segit­i­ga kalau dike­nali dua sisi dan satu sudut. Jika pada segit­i­ga ABC dike­nali pan­jang sisi b , besar sudut A , dan pan­jang sisi c (b‑A-c) , maka luas segit­i­ga dijum­lah den­gan rumus berikut :
⇒ L = ½ bc sin A .…(1)

Selan­jut­nya , nilai sin A diper­oleh menu­rut iden­ti­tas trigonometri:
⇒ sin2 A + cos2 A = 1
⇒ sin2 A = 1 — cos2 A
⇒ sin2 A = (1 + cos A)(1 — cos A) .…..(2)

Selan­jut­nya kem­bali ingat hukum cos­i­nus , selaku berikut:

⇒ cos A = b2 + c2 — a2
2bc

Selan­jut­nya sub­sti­tusi cos A dari hukum cos­i­nus ke per­samaan (2) sehing­ga dihasilkan per­samaan (3) selaku berikut :
⇒ sin2 A = (1 + cos A)(1 — cos A)
⇒ sin2 A = (1 + (b2 + c2 — a2)/2bc)(1 — (b2 + c2 — a2)/2bc)

⇒ sin2 A = (a + b + c)(b + c — a)(a + b — c)(a — b + c)
(2bc)2
⇒ sin A = 1  √(a + b + c)(b + c — a)(a + b — c)(a — b + c)
2bc

Per­hatikan pada per­samaan di atas , a + b + c yaitu kelil­ing segit­i­ga. Jika dihubungkan den­gan seten­gah kelil­ing segit­i­ga (s) , maka berlaku :
⇒ s = ½(a + b + c)
⇒ 2s = (a + b + c)
⇒ (a + b + c) = 2s .….. (4)

Berdasarkan per­samaan (4) , maka per­samaan (3) sang­gup diubah men­ja­di:

⇒ sin A = 1  √2s . 2(s — a) . 2(s — c) . 2(s — b)
2bc
⇒ sin A = 1  √16 s(s — a)(s — c)(s — b)
2bc
⇒ sin A = 4  √s(s — a)(s — c)(s — b)
2bc

⇒ sin A = 2/bc √s(s — a)(s — b)(s — c)

Selan­jut­nya , sub­sti­tusi sin A di atas ke per­samaan (1) :
⇒ L = ½ bc sin A
⇒ L = ½ bc {2/bc √s(s — a)(s — b)(s — c)}
⇒ L = √s(s — a)(s — b)(s — c)

Jadi , luas segit­i­ga sem­barang yang pan­jang keti­ga sisinya dike­nali sang­gup dijum­lah den­gan rumus berikut:

L = √s(s — a)(s — b)(s — c)

Den­gan :
L = luas segit­i­ga
s = seten­gah kelil­ing segit­i­ga = ½(a + b + c)
a = pan­jang sisi a
b = pan­jang sisi b
c = pan­jang sisi c

Con­toh Soal :
Pada segit­i­ga ABC dike­nali pan­jang sisi a = 6 cm , pan­jang sisi b = 4 cm , dan pan­jang sisi c = 8 cm. Hitunglah luas segit­i­ga terse­but!

Pem­ba­hasan :
Dik : a = 6 cm , b = 4 cm , c = 8 cm
Dit : L = .… ?

Per­ta­ma kita hitung dahu­lu seten­gah kelil­ing segit­i­ganya :
⇒ s = ½ (a + b + c)
⇒ s = ½ (6 + 4 + 8)
⇒ s = ½ (18)
⇒ s = 9 cm

Berdasarkan rumus luas di atas :
⇒ L = √s(s — a)(s — b)(s — c)
⇒ L = √9 (9 — 6)(9 — 4)(9 — 8)
⇒ L = √9 (3)(5)(1)
⇒ L = √9 (3)(5)(1)
⇒ L = √135
⇒ L = 11 ‚6 cm2

Jadi , luas segit­i­ga terse­but yaitu 11 ‚6 cm2.

Baca juga : Luas Segit­i­ga Jika Dike­tahui Dua Sisi dan Satu Sudut.

Share ke Face­book »Share ke Twit­ter »
Cafeberita.com yaitu blog ten­tang materi bela­jar. Gunakan sajian atau pen­car­i­an untuk men­da­p­atkan materi bergu­ru yang ingin dipela­jari.

Pos terkait