Kumpulan Soal Dan Respon Menyeleksi Akar Suku Banyak

• Jika f(x) habis dibagi (x – a) → akarnya x = a
• Jika f(x) habis dibagi (x + a) → akarnya x = -a
• Jika f(x) habis dibagi (ax – b) → akarnya x = b/a
• Jika f(x) habis dibagi (ax + b) → akarnya x = -b/a
• Jika f(x) habis dibagi (x – a)(x – b) → maka akarnya x = a atau x = b.

Kumpulan Soal Menentukan Akar Suku Banyak

1. Banyaknya akar-akar real dari x⁴ – 3x³ – 3x² + 7x + 6 = 0 merupakan …
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 5
   E. 6

   Pembahasan 
   x⁴ – 3x³ – 3x² + 7x + 6 = 0
   ⇒ (x + 1)(x³ – 4x² + x + 6) = 0
   ⇒ (x + 1)(x + 1)(x² – 5x + 6) = 0
   ⇒ (x + 1)(x + 1)(x – 3)(x – 2) = 0
   ⇒ x = -1 atau x = -1 atau x = 3 , atau x = 2.
   Karena terdapat akar yang serupa yakni -1 , maka banyak akarnya cuma ada 3 —> pilihan B.

   Bacaan Lainnya

   • Stabilitas Nilai Tukar Mata Uang Dapat Dijaga dengan Mengatur Kelancaran
   • Menghitung Percepatan Gravitasi Pada Ketinggian Tertentu
   • Silabus Biologi Untuk Sma Kurikulum 2013

    

2. Salah satu akar persamaan x³ + 5x² – 9x – n = 0 bertentangan dengan akar yang lain maka nilai x1² + x2² + x3² sama dengan …
   A. 48
   B. 46
   C. 44
   D. 43
   E. 40

   Pembahasan
   Jika suku banyak berderajat tiga memiliki akar x1 , x2 , dan x3 , maka berlaku :
   x1 + x2 + x3 = -b/a
   x1.x2.x3 = -d/a
   x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

   Karena salah satu akar bertentangan dengan akar yang lain , maka kita sanggup memisalkan x1 = -x2.
   Dari x³ + 5x² – 9x – n = 0  diperoleh a = 1 , b = 5 , c = -9 dan d = -n.
   ⇒ x1 + x2 + x3 = -5/1 = -5
   ⇒ -x2 + x2 + x3 = -5
   ⇒ x3 = -5.
   Selanjutnya dari rumus no 3 diperoleh :
   ⇒ x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = -9/1 = -9
   ⇒ x1.x2 + x3(x1 + x2) = -9
   ⇒ x1.x2 + -5(-x2 + x2) = -9
   ⇒ x1.x2 = -9
   ⇒ -x2.x2 = -9
   ⇒ x2² = 9
   ⇒ x2 = 3 , maka x1 = -3
   Dengan demikian , maka :
   x1² + x2² + x3²  = (-3)² + 3² + (-5)²  = 9 + 9 + 25 = 43 —> pilihan D.

3. Persamaan 2x³ + px² + 7x + 6 = 0 memiliki akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu merupakan …
   A. -9
   B. 2½
   C. 3
   D. 4½
   E. 9

   Pembahasan 
   Karena x = 2 merupakan akar suku banyak , maka berlaku f(2) = 0.
   f(x) = 2x³ + px² + 7x + 6 
   ⇒ f(2) = 2(2)³ + p(2)² + 7(2) + 6 = 0
   ⇒ 16 + 4p + 14 + 6 = 0
   ⇒ 4p + 36 = 0
   ⇒ p = -9
   Dengan demikian diperoleh 2x³ – 9x² + 7x + 6 dengan a = 2 , b = -9 , c = 7 dan d = 6.
   Berdasarkan rumus x1 + x2 + x3 = -b/a , maka diperoleh :
   ⇒ x1 + x2 + x3 = -(-9)/2 = 4½ —> pilihan D.

4. Jika akar-akar persamaan x³ – 12x² + 44x + k = 0 membentuk barisan aritmatika , maka nilai k yang menyanggupi persamaan tersebut merupakan …
   A. -48
   B. -42
   C. -24
   D. 40
   E. 48

   Pembahasan
   Dari x³ – 12x² + 44x + k = 0 diperoleh a = 1 , b = -12 , c = 44 , dan d = k.
   ⇒ x1 + x2 + x3 = -b/a
   ⇒ x1 + x2 + x3 = -(-12)/1 = 12
   Karena x1 , x2 , dan x3 membentuk barisan aritmatika , maka :
   ⇒ x1 + (x1 + b) + (x1 + 2b) = 12
   ⇒ 3×1 + 3b = 12
   ⇒ x1 + b = 4
   Karena pada barisan aritmatika suku permulaan biasa dilambangkan dengan abjad a , maka kita sanggup mengganti x1 menjadi a sebagi berikut :

   ⇒ a + b = 4 atau b = 4 – a
   Selanjutnya :
   ⇒ x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
   ⇒ a(a + b) + a(a + 2b) + (a + b)(a + 2b) = 44
   ⇒ a(4) + a(a + 2b) + 4(a + 2b) = 44 → substitusi b = 4 – a
   ⇒ 4a + a(a + 2(4 – a)) + 4(a + 2(4 – a) = 44
   ⇒ 4a + a(8 – a) + 4(8 – a) = 44
   ⇒ 4a + 8a – a² + 32 – 4a = 44
   ⇒16a – a²  + 32 = 44
   ⇒ -a² + 16a – 12 = 0
   ⇒ (a – 6)(a – 2) = 0
   ⇒ a = 6 atau a = 2

   Ambil saja salah satu , misal a =2 maka b = 4 – a = 4 – 2 = 2
   Selanjutnya , dari rumus perkalian akar diperoleh :
   ⇒ x1.x2.x3 = -d/a
   ⇒ a(a + b)(a + 2b) = -k/1
   ⇒ 2 (4) (6) = -k
   ⇒ k = -48 —> pilihan A.

5. Bila akar-akar persamaan x⁴ – 8x³ + ax² – bx + c = 0 membentuk deret aritmatika dengan beda 2 , maka :
   A. a = -8 , b = -15 , c = 16
   B. a = 8 , b = 15 , c = -16
   C. a = 14 , b = -8 , c = 15
   D. a = -16 , b = 8 , c = -15
   E. a = 14 , b = -8 , c = -15

   Pembahasan 
   Misal akar-akarnya merupakan x1 , x2 , x3 , dan x4.
   dari x⁴ – 8x³ + ax² – bx + c = 0 diperoleh a = 1 , b = -8 , c = a , d = -b dan e = c.

   Dari rumus penjumlahan akar diperoleh :
   x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
   ⇒ x1 + (x1 + b) + (x1 + 2b) + (x1 + 3b) = -(-8)/1
   ⇒ 4×1 + 6b = 8 —> dari soal dikenali beda = b = 2
   ⇒ 4×1 + 12 = 8
   ⇒ 4×1 = -4
   ⇒ x1 = -1 maka x2 = 1; x3 = 3; dan x4 = 5.

   Dengan demikian , maka persamaan suku banyaknya merupakan :
   (x + 1)(x – 1)(x -3)(x – 5) = x⁴ – 8x³ + ax² – bx + c = 0
   x⁴ – 8x³ + 14x² + 8x – 15 = x⁴ – 8x³ + ax² – bx + c = 0
   Dari persamaan itu  diperoleh a = 14 , b = -8 , dan c = -15 —> pilihan E.