Hubungan Tiga Suku Berurutan Dalam Barisan Geometri

Cafeberita.com — Kon­sep Tiga Suku Beru­ru­tan. Suku ke‑n dalam suatu barisan arti­mati­ka sang­gup diny­atakan menu­rut suku sebelum atau suku sesu­dah­nya. Mis­al­nya , suku ked­ua sang­gup dipu­tuskan menu­rut nilai suku per­ta­ma atau menu­rut nilai suku keti­ga den­gan catatan rasio barisan­nya dike­tahui. Jika suku per­ta­ma dan rasio dimenger­ti , maka suku ked­ua sang­gup diny­atakan selaku hasil kali suku per­ta­ma den­gan rasio. Sedan­gkan jikalau suku keti­ga dan rasio yang dimenger­ti , maka suku ked­ua sang­gup diny­atakan selaku hasil bagi suku keti­ga oleh rasio barisan. Hubun­gan khusus ini sang­gup diman­faatkan untuk menye­le­saikan beber­a­pa ver­si soal ihw­al barisan geometri umpa­manya menyelek­si suku ke‑n jikalau tiga suku beru­ru­tan dimenger­ti , menyelek­si tiga bilan­gan dalam barisan geometri jikalau jum­lah dan hasil kali keti­ga bilan­gan itu dimenger­ti , dan seba­gainya. Pada pelu­ang ini , edutafsi akan mem­ba­has dua keadaan terkait kore­lasi tiga suku beru­ru­tan dilengkapi den­gan tumpuan dan pem­ba­hasan.

A. Rasio Barisan Geometri

Kare­na keadaan khusus dari tiga suku beru­ru­tan dalam barisan geometri dit­in­jau menu­rut kore­lasi suku ke‑n den­gan rasio barisan , maka ada baiknya kita mem­ba­has kem­bali ran­can­gan dari rasio barisan geometri. Pem­ba­hasan per­i­hal rasio geometri juga anda baca pada postin­gan sebelum­nya yang sang­gup anda per­oleh di sajian matem­ati­ka.

Bacaan Lain­nya

Secara seder­hana , rasio barisan sang­gup diar­tikan selaku per­bandin­gan antara dua suku yang berdekatan , sem­pur­na per­bandin­gan antara suku ke‑n den­gan suku sebelum­nya. Jika suatu barisan geometri berisikan tiga suku , maka rasio barisan terse­but sang­gup dijum­lah menu­rut per­bandin­gan antara suku keti­ga den­gan suku ked­ua atau per­bandin­gan antara suku ked­ua den­gan suku per­ta­ma.

Ciri khas barisan geometri meru­pakan memi­li­ki rasio yang seru­pa atau tetap. Artinya , per­bandin­gan seti­ap dua suku yang berdekatan di dalam barisan terse­but senan­ti­asa sama , yakni sebe­sar r. Jika nilai r berubah-ubah , maka barisan terse­but bukan­lah barisan geometri. Secara matem­a­tis , rasio barisan geometri sang­gup diny­atakan den­gan per­samaan berikut :

r = Un
Un‑1

Keteran­gan :
r = rasio barisan geometri
Un = suku ke‑n barisan geometri
Un‑1 = suku sebelum suku ke‑n barisan geometri
n = nomor atau jum­lah suku (1 , 2 , 3 , …).

B. Perbandingan Dua Suku Berdekatan

Kare­na rasio pada barisan geometri senan­ti­asa sama , maka per­bandin­gan seti­ap dua suku yang berdekatan akan men­cip­takan nilai yang seru­pa sebe­sar r. Mis­al suatu barisan geometri berisikan tiga suku yakni Ua , Ub , dan Uc , maka rasio barisan terse­but sang­gup dijum­lah den­gan rumus berikut.

Berdasarkan nilai suku ked­ua dan per­ta­ma :
⇒ r = Ub/Ua

Berdasarkan nilai suku keti­ga dan ked­ua :
⇒ r = Uc/Ub

Kare­na rasio barisan geometri senan­ti­asa sama , maka berlaku :

Ub  = Uc
Ua Ub

Jika dikali silang , maka ben­tuk per­samaan di atas sang­gup diubah men­ja­di :
⇒ Ub2 = Ua . Uc

Den­gan demikian , untuk tiga suku beru­ru­tan pada barisan geometri , suku ten­gah dari tiga suku terse­but sang­gup dijum­lah den­gan rumus berikut :

Ub2 = Ua . Uc

Keteran­gan :
Ub = suku ten­gah pada dari tiga suku yang beru­ru­tan
Ua = suku per­mu­laan dari tiga suku yang beru­ru­tan
Uc = suku keti­ga dari tiga suku yang beru­ru­tan.

Con­toh :
Jika suku per­ta­ma , ked­ua , dan keti­ga suatu barisan geometri bertu­rut-turut meru­pakan m , 3m , dan 8m + 4 , maka ten­tukan­lah suku keli­ma barisan terse­but.

Pem­ba­hasan :
Dik : U1 = m , U2 = 3m , U3 = 8m + 4
Dit : U5 = .… ?

Untuk men­jum­lah suku keli­ma , maka kita mesti menyelek­si apala­gi dulu suku per­ta­ma dan rasio barisan geometri terse­but. Rasio barisan terse­but meru­pakan :
⇒ r = U2/U1
⇒ r = 3m/m
⇒ r = 3

Untuk men­ge­nali nilai m (suku per­ta­ma) , maka sang­gup digu­nakan rumus di atas:
⇒ U22 = U1 . U3
⇒ (3m)2 = m (8m + 4)
⇒ 9m2 = 8m2 + 4m
⇒ 9m2 — 8m2 = 4m
⇒ m2 = 4m
⇒ m2/m = 4
⇒ m = 4

Kare­na m = 4 , maka suku per­ta­ma barisan terse­but :
⇒ U1 = m
⇒ U1 = 4
 
Kare­na a =  U1 = 4 dan r = 3 , maka suku keli­manya meru­pakan :
⇒ U5 = a . r5–1
⇒ U5 = a . r4
⇒ U5 = 4 . 34
⇒ U5 = 4 . 81
⇒ U5 = 324

Jadi , suku keli­ma barisan geometri terse­but meru­pakan 324.

C. Bentuk Khusus Tiga Suku Berurutan

Selain ben­tuk pada poin B di atas , tiga suku beru­ru­tan dalam barisan geometri juga sang­gup kita susun ke dalam ben­tuk yang berbe­da. Mis­al suatu barisan geometri berisikan tiga suku Ua , Ub , dan Uc. Jika suku ten­gah (yaitu suku ked­ua) diubah men­ja­di k , maka menu­rut kore­lasi dua suku berdekatan , suku per­ta­ma dan suku keti­ga dpa­ta diubah men­ja­di menyeru­pai di bawah ini.

Jika Ub = k dan rasio = r , maka suku per­ta­ma sang­gup diubah men­ja­di :
⇒ Ua = Ub/r
⇒ Ua = k/r

Sedan­gkan suku keti­ga sang­gup diubah men­ja­di :
⇒ Uc = Ub . r
⇒ Uc = kr

Den­gan demikian , keti­ga suku beru­ru­tan (Ua , Ub , dan Uc) sang­gup dit­ulis men­ja­di ben­tuk lain , yakni k/r , k , kr. Jika keti­ga suku terse­but dika­likan , maka akan diper­oleh :
⇒ Ua . Ub . Uc = k/r . k . kr
⇒ Ua . Ub . Uc = k3

Kare­na Ub dimisalkan k , maka untuk tiga suku beru­ru­tan dalam barisan geometri , berlaku per­samaan:

Ua . Ub . Uc = Ub3

Keteran­gan :
Ub = suku ten­gah dalam tiga suku beru­ru­tan
Ua = suku per­mu­laan dari tiga suku beru­ru­tan
Uc = suku sim­pu­lan dati tiga suku beru­ru­tan.

Con­toh :
Jika jum­lah tiga bilan­gan dalam suatu barisan geometri meru­pakan 14 dan hasil kali keti­ganya meru­pakan 64 , maka ten­tukan­lah keti­ga bilan­gan terse­but.

Pem­ba­hasan :
Dik : Ua . Ub . Uc = 64 , dan Ua + Ub + Uc = 14
Dik : Ua , Ub , Uc = … ?

Hasil kali keti­ga bilan­gan :
⇒ Ua . Ub . Uc = 64
⇒ Ub3 = 64
⇒ Ub3 = 43
⇒ Ub = 4

Jum­lah keti­ga bilan­gan :
⇒ Ua + Ub + Uc = 14
⇒ Ub/r + Ub + Ub.r = 14
⇒ 4/r + 4 + 4r = 14
⇒ 4/r + 4r + 4 — 14 = 0
⇒ 4/r + 4r — 10 = 0

Jika ked­ua ruas dikali den­gan r , maka per­samaanya men­ja­di :
⇒ 4 + 4r2 — 10r = 0
⇒ 4r2 — 10r + 4 = 0
⇒ 2r2 — 5r + 2 = 0
⇒ ½ (2r — 4)(2r — 1) = 0
⇒ r = 2 atau r = ½

Untuk r = 2 , maka keti­ga bilan­gan­nya meru­pakan :
⇒ Ua , Ub , Uc = 4/2 , 4 , 4(2)
⇒ Ua , Ub , Uc = 2 , 4 , 8

Untuk r = ½ , maka keti­ga bilan­gan­nya meru­pakan :
⇒ Ua , Ub , Uc = 4/½ , 4 , 4(½)
⇒ Ua , Ub , Uc = 8 , 4 , 2

Jadi , keti­ga bilan­gan yang beru­ru­tan terse­but meru­pakan 2 , 4 , 8 atau 8 , 4 , 2.

Berdasarkan pem­ba­hasan di atas , berikut edutafsi rangkum dua rumus atau per­samaan yang berlaku untuk tiga suku beru­ru­tan dalam barisan geometri. Mis­al tiga suku beru­ru­tan meru­pakan Ua , Ub , dan Uc , maka berlaku per­samaan menyeru­pai pada gam­bar di bawah ini.

Konsep tiga suku berurutan barisan geometri

Demikian­lah pem­ba­hasan singkat per­i­hal kore­lasi khusus tiga suku beru­ru­tan dalam barisan geometri. Jika materi bergu­ru ini berhar­ga , ban­tu kami mem­bagikan­nya ter­hadap teman-teman anda lewat tombol share di bawah ini.

Share ke Face­book »Share ke Twit­ter »
Cafeberita.com meru­pakan blog ihw­al materi bela­jar. Gunakan sajian atau pen­car­i­an untuk mener­i­ma materi bergu­ru yang ingin dipela­jari.

Pos terkait