Cara Menyeleksi Jumlah N Suku Pertama Deret Geometri

Cafeberita.com – Deret Geometri. Pada beberapa materi mencar ilmu sebelumnya , edutafsi sudah membahas beberapa desain tentang barisan geometri mulai dari definisi barisan geometri , rasio barisan , rumus suku ke-n , sampai kekerabatan antara tiga suku berdekatan dalam barisan geometri. Selain desain tersebut , masih ada beberapa subtopik lain yang berdampingan dengan barisan , yakni deret. Sama menyerupai barisan aritmatika yang sanggup dijumlahkan menjadi deret aritmatika , barisan geometri juga sanggup dijumlahkan menjadi deret geometri. Jika mengatakan tentang deret , maka subtopik yang utama akan dibahas yakni bagaimana cara menyeleksi jumlah n suku pertama dari deret tersebut. Tapi sebelum membahas lebih jauh rumus menyeleksi jumlah n suku pertama , ada baiknya kita membahas apalagi dulu tentang definisi dari deret geometri. Pada pembahasan di bawah ini , edutafsi juga akan memaparkan bentuk lain dari rumus jumlah n suku pertama pada deret geometri.

A. Pengertian Deret Geometri

Secara sederhana , deret sanggup diartikan selaku jumlah dari seluruh suku dalam suatu barisan (jumlah suku pertama , kedua , ketiga , sampai suku terakhir). Dengan demikian , deret geometri sanggup diartikan selaku jumlah dari seluruh suku dalam barisan geometri. Jika deret aritmatika dimengerti juga selaku deret hitung , maka nama lain dari deret geometri yakni deret ukur.

Pada dasarnya barisan dan deret geometri ialah dua topik yang saling berhubungan. Konsep barisan dan deret geometri juga saling berkaitan. Perhitungan dan penentuan rumus deret geometri dikembangkan menurut desain yang ada pada barisan geometri. Sebaliknya , beberapa perkiraan pada barisan geometri juga sanggup diturunkan dari desain deret geometri.

Misalkan terdapat barisan geometri berisikan lima suku selaku berikut : 2 , 8 , 32 , 128 , 512. Jumlah dari barisan tersebut 2 + 8 + 32 + 128 + 512  disebut selaku deret geometri. Karena ialah jumlah dari barisan geometri , maka desain atau ciri-ciri yang berlaku pada barisan geometri juga berlaku pada deret geometri.

Ciri-ciri yang dimaksud antara lain :
1). Perbandingan dua suku berdekatan (r) senantiasa sama
2). Suku ke-n ialah hasil kali antara suku sebelumnya dengan rasio barisan.

Dengan demikian , sebelum menyelsaikan soal kita juga sanggup memutuskan apalagi dulu apakah suatu deret tergolong deret geometri atau bukan. Caranya sederhana , sama menyerupai mengidentifikasi apakah suatu barisan tergolong barisan geoemtri atau bukan , yakni dengan cara menyaksikan rasionya. Jika rasionya sama untuk setiap dua suku berdekatan , maka deret tersebut yakni deret geometri. Jika rasio berlainan , maka deret tersebut bukan deret geometri.

Contoh :
Dari beberapa deret di bawah ini , periksalah mana yang ialah deret geometri :
a). 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 18
b). 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128
c). 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192
d). 4 + 16 + 48 + 96 + 288 + 1152

Pembahasan :
a). Rasio untuk 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 18
⇒ 4/2 ≠ 6/4 ≠ 8/6 ≠ 10/8 ≠ 12/10 ≠ 14/12 ≠ 18/14
Karena rasionya tidak sama , maka deret tersebut bukan deret geometri.

b). Rasio untuk 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128
⇒ r = 4/2 = 8/4 = 16/8 = 32/16 = 64/32 = 128/64 = 2
Karena rasionya senantiasa sama , yakni r = 2 , maka deret tersebut ialah deret geometri.

c). Rasio untuk 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , 96 , 192
⇒ r = 6/3 = 12/6 = 24/12 = 48/24 = 96/48 = 192/96 = 2
Karena rasionya senantiasa sama , yakni r = 2 , maka deret ini tergolong deret geometri.

d). Rasio untuk 4 , 16 , 48 , 96 , 288 , 1152
⇒ 16/4 ≠ 48/16 ≠ 98/48 ≠ 288/96 ≠ 1152/288
Karena rasionya tidak senantiasa sama , maka bukan deret geometri.

Jadi dari keempat deret di atas , yang termasu deret geometri yakni (b) dan (c). Deret 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 memiliki rasio 2 dan deret 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 juga ialah deret geometri dengan rasio sama dengan 2.

B. Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Geometri

Salah satu pembahasan dalam deret geometri yakni menyeleksi jumlah n suku pertama dalam suatu deret geometri. Bilangan n menyatakan jumlah atau banyak suku yang mau dijumlahkan. Misalnya suatu deret geometri berisikan 10 suku , jika ditanya jumlah 5 suku pertama , maka yang dijumlahkan yakni U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅.

Jumlah n suku pertama umumnya disimbolkan dengan Sn. Besar jumlah n suku pertama suatu deret geometri bergantung pada nilai suku pertama dan rasio deret tersebut. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri sanggup diturunakn menurut desain suku ke-n barisan geometri dan manipulasi aljabar selaku berikut.

Misal suatu barisan geometri berisikan beberapa suku selaku berikut : U₁ , U₂ , U₃ … , U_n. Sesuai desain barian geometri , maka berlaku persamaan berikut :
1). U₁ = a
2). U₂ = a . r
3). U₃ = a. r²
4). U_n = a . r^n-1

Jika suku-suku barisan tersebut dijumlahkan : U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n maka akan diperoleh Sn.
⇒ Sn =  U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n-1 + U_n
⇒ Sn = a + ar + a. r² + …+ a . r^n-2 + a . r^n-1   …… (1)

Jika kedua ruas dikali dengan r , maka persamaannya menjadi :
⇒ r Sn = ar + a r² + a r³ + … + a . r^n-1 + a . rⁿ …… (2)

Selanjutnya , persamaan (1) dan (2) disusun dan dikurangkan selaku berikut :

Sn           =	a + ar + a. r2 + a r3 + …+ a . rn-2 + a . rn-1
r Sn         =	ar + a r2 + a r3 + … + a . rn-2 + a . rn-1 + a . rn  _
Sn − r Sn =	a − a.rn

Hasil di atas sanggup diubah menjadi :
⇒ Sn − r Sn = a − a.rⁿ
⇒ (1 − r)Sn = a(1 − rⁿ)
⇒ Sn = a(1 − rⁿ) / (1 − r)

Dari hasil di atas , diperoleh rumus jumlah n suku pertama (Sn) untuk deret geometri. Tetapi , bentuk di atas cuma berlau untuk nilai r yang lebih kecil dari 1 (r 1) rumusnya sedikit berbeda.

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri untuk r < 1 :

Sn = a(1 − rn) 1 − r

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri untuk r > 1 :

Sn = a(rn − 1) r − 1

Keterangan :
Sn = jumlah n suku pertama dalam deret geometri
a = U₁ = suku pertama deret geometri
r = rasio deret geometri
n = banyak suku yang dijumlahkan (1 , 2 , 3 , ….).

Contoh :
Diberikan suatu deret geometri selaku berikut : 3 + 6 + 12 + 24 + … + Un. Tentukanlah jumlah 8 suku pertama deret tersebut!

Pembahasan :
Dik : a = 3 , r = 6/3 = 12/6 = 2 (r > 1) , n = 8
Dit : S₈ = …. ?

Karena r > 1 , maka digunakan rumus kedua :
⇒ Sn = a(rⁿ − 1) / (r − 1)
⇒ S₈ = 3(2⁸ − 1) / (2 − 1)
⇒ S₈ = 3(256 − 1) /1
⇒ S₈ = 3(255)
⇒ S₈ = 765

Jadi , jumlah 8 suku pertama deret geometri tersebut yakni 765.

C. Bentuk Lain Rumus Sn untuk Deret Geometri

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri untuk r > 1 sanggup diubah menjadi bentuk yang sederhana dengan dijabarkan apalagi dulu selaku berikut:
⇒ Sn = a(rⁿ − 1) / (r − 1)
⇒ Sn = (arⁿ − a) / (r − 1)
⇒ Sn = (arⁿ)/(r − 1) − a/(r − 1)
⇒ Sn = {a/(r − 1)} . rⁿ − a/(r − 1)  

Karena a dan r pada suatu deret gemetri senantiasa tetap , maka a/(r-1) sanggup kita asumsikan selaku suatu konstanta , sehingga sanggup kita misalkan : a/(r – 1) = C , dengan C konstanta. Dengan demikian , persamaanya menjadi :

Sn = C . rn − C

Keterangan :
Sn = jumlah n suku pertama deret geometri
C = konstanta = a/(r-1)
r = rasio deret geometri.

Contoh :
Jika jumlah n suku pertama suatu deret dirumuskan dengan Sn = 2³ⁿ − 1 , maka tentukanlah jumlah 5 suku pertama dan rasionya.

Pembahasan :
Dik : Sn = 2³ⁿ − 1
Dit : S₅ = …. ? dan r = …. ?

Jumlah 5 suku pertama , substitusikan n = 5 :
⇒ Sn = 2³ⁿ − 1
⇒ S₅ = 2^3.5 − 1
⇒ S₅ = 2¹⁵ − 1
⇒ S₅ = 32767

Rumus Sn yang diberikan pada soal sanggup dijabarkan menjadi bentuk khusus Sn = C . rⁿ − C selaku berikut:
⇒ Sn = 2³ⁿ − 1
⇒ Sn = (2³)ⁿ − 1
⇒ Sn = 8ⁿ − 1
⇒ Sn = 1 . 8ⁿ − 1

Sekarang bentuk persamaanya sudah sesuai dengan Sn = C . rⁿ − C. Dari persamaan tersebut diketahui:
1). C = a/(r-1) = 1
2). r = 8

Jadi , rasio deret geometri tersebut yakni 8 dan jumlah 5 suku pertamanya yakni 32767.

Demikianlah pembahasan singkat tentang cara menyeleksi jumlah n suku pertama suatu deret geometri dilengkapi dengan teladan dan pembahasan. Jika materi mencar ilmu ini berharga , bantu kami membagikannya terhadap teman-teman anda lewat tombol share di bawah ini.